微分積分例

$y = {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{3}$

ステップ 1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \frac{x - 4}{3 - x^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x - 4}{3 - x^{2}}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{3 - x^{2}}]$

ステップ 1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{3 - x^{2}}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x - 4}{3 - x^{2}}$ で置き換えます。

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{3 - x^{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x - 4$ および $g (x) = 3 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{(3 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{(3 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{(3 - x^{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{(3 - x^{2}) (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{(3 - x^{2}) \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.4.2

$3 - x^{2}$ に $1$ をかけます。

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{3 - x^{2} - (x - 4) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5

総和則では、 $3 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{3 - x^{2} - (x - 4) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.6

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{3 - x^{2} - (x - 4) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{3 - x^{2} - (x - 4) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.8

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{3 - x^{2} - (x - 4) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.9

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{3 - x^{2} + 1 (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.9.2

$x - 4$ に $1$ をかけます。

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{3 - x^{2} + (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.10

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{3 - x^{2} + (x - 4) (2 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.11

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.1

$2$ を $x - 4$ の左に移動させます。

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{3 - x^{2} + 2 \cdot (x - 4) x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.11.2

$\frac{3 - x^{2} + 2 (x - 4) x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{(3 - x^{2} + 2 (x - 4) x) \cdot 3}{{(3 - x^{2})}^{2}} {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2}$

ステップ 3.11.3

$3$ を $3 - x^{2} + 2 (x - 4) x$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot (3 - x^{2} + 2 (x - 4) x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2}$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

積の法則を $\frac{x - 4}{3 - x^{2}}$ に当てはめます。

$\frac{3 (3 - x^{2} + 2 (x - 4) x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (3 - x^{2} + (2 x + 2 \cdot - 4) x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (3 - x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot - 4 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 4.4

分配則を当てはめます。

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x \cdot x) + 3 (2 \cdot - 4 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 4.5

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{9 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x \cdot x) + 3 (2 \cdot - 4 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 4.5.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{9 - 3 x^{2} + 3 (2 x \cdot x) + 3 (2 \cdot - 4 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 4.5.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{9 - 3 x^{2} + 3 (2 (x^{1} x)) + 3 (2 \cdot - 4 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 4.5.4

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{9 - 3 x^{2} + 3 (2 (x^{1} x^{1})) + 3 (2 \cdot - 4 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 4.5.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{9 - 3 x^{2} + 3 (2 x^{1 + 1}) + 3 (2 \cdot - 4 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 4.5.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{9 - 3 x^{2} + 3 (2 x^{2}) + 3 (2 \cdot - 4 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 4.5.7

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{9 - 3 x^{2} + 6 x^{2} + 3 (2 \cdot - 4 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 4.5.8

$2$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{9 - 3 x^{2} + 6 x^{2} + 3 (- 8 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 4.5.9

$- 8$ に $3$ をかけます。

$\frac{9 - 3 x^{2} + 6 x^{2} - 24 x}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 4.5.10

$- 3 x^{2}$ と $6 x^{2}$ をたし算します。

$\frac{9 + 3 x^{2} - 24 x}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 4.5.11

$\frac{9 + 3 x^{2} - 24 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$ に $\frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$ をかけます。

$\frac{(9 + 3 x^{2} - 24 x) {(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2} {(3 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 4.5.12

指数を足して ${(3 - x^{2})}^{2}$ に ${(3 - x^{2})}^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.12.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(9 + 3 x^{2} - 24 x) {(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2 + 2}}$

ステップ 4.5.12.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{(9 + 3 x^{2} - 24 x) {(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

ステップ 4.6

項を並べ替えます。

$\frac{{(x - 4)}^{2} (9 + 3 x^{2} - 24 x)}{{(- x^{2} + 3)}^{4}}$

ステップ 4.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.1

$3$ を $9 + 3 x^{2} - 24 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.1.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$\frac{{(x - 4)}^{2} (3 \cdot 3 + 3 x^{2} - 24 x)}{{(- x^{2} + 3)}^{4}}$

ステップ 4.7.1.2

$3$ を $- 24 x$ で因数分解します。

$\frac{{(x - 4)}^{2} (3 \cdot 3 + 3 x^{2} + 3 (- 8 x))}{{(- x^{2} + 3)}^{4}}$

ステップ 4.7.1.3

$3$ を $3 \cdot 3 + 3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{{(x - 4)}^{2} (3 \cdot (3 + x^{2}) + 3 (- 8 x))}{{(- x^{2} + 3)}^{4}}$

ステップ 4.7.1.4

$3$ を $3 \cdot (3 + x^{2}) + 3 (- 8 x)$ で因数分解します。

$\frac{{(x - 4)}^{2} (3 (3 + x^{2} - 8 x))}{{(- x^{2} + 3)}^{4}}$

ステップ 4.7.2

項を並べ替えます。

$\frac{{(x - 4)}^{2} \cdot 3 (x^{2} - 8 x + 3)}{{(- x^{2} + 3)}^{4}}$

ステップ 4.8

$3$ を ${(x - 4)}^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{3 {(x - 4)}^{2} (x^{2} - 8 x + 3)}{{(- x^{2} + 3)}^{4}}$

微分積分 例

微分積分例