微分積分例

$G (x) = {(\frac{1}{x})}^{4} - \ln (x)$

ステップ 1

総和則では、 ${(\frac{1}{x})}^{4} - \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [{(\frac{1}{x})}^{4}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{1}{x})}^{4}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [{(\frac{1}{x})}^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{1}{x}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 2.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{1}{x}$ で置き換えます。

$4 {(\frac{1}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 2.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$4 {(\frac{1}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 2.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 {(\frac{1}{x})}^{3} (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 2.4

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- 4 {(\frac{1}{x})}^{3} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \ln (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$- 4 {(\frac{1}{x})}^{3} x^{- 2} - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 3.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$- 4 {(\frac{1}{x})}^{3} x^{- 2} - \frac{1}{x}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 4 {(\frac{1}{x})}^{3} \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x}$

ステップ 4.2

積の法則を $\frac{1}{x}$ に当てはめます。

$- 4 \frac{1^{3}}{x^{3}} \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x}$

ステップ 4.3

項をまとめます。

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ステップ 4.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$- 4 \frac{1}{x^{3}} \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x}$

ステップ 4.3.2

$- 4$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$\frac{- 4}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x}$

ステップ 4.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{4}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x}$

ステップ 4.3.4

$\frac{1}{x^{2}}$ に $\frac{4}{x^{3}}$ をかけます。

$- \frac{4}{x^{2} x^{3}} - \frac{1}{x}$

ステップ 4.3.5

指数を足して $x^{2}$ に $x^{3}$ を掛けます。

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ステップ 4.3.5.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{4}{x^{2 + 3}} - \frac{1}{x}$

ステップ 4.3.5.2

$2$ と $3$ をたし算します。

$- \frac{4}{x^{5}} - \frac{1}{x}$

ステップ 4.4

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{5}}$

微分積分 例

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