微分積分例

$y = (1 - x) {(1 + x^{2})}^{- 1}$

ステップ 1

$f (x) = 1 - x$ および $g (x) = {(1 + x^{2})}^{- 1}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(1 - x) \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{- 1}] + {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = 1 + x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 + x^{2}$ とします。

$(1 - x) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(1 - x) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $1 + x^{2}$ で置き換えます。

$(1 - x) (- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $1 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$(1 - x) (- {(1 + x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])) + {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 3.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$(1 - x) (- {(1 + x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])) + {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ をたし算します。

$(1 - x) (- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(1 - x) (- {(1 + x^{2})}^{- 2} (2 x)) + {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 3.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(1 - x) (- 2 {(1 + x^{2})}^{- 2} x) + {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 3.6

総和則では、 $1 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$(1 - x) (- 2 {(1 + x^{2})}^{- 2} x) + {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 3.7

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$(1 - x) (- 2 {(1 + x^{2})}^{- 2} x) + {(1 + x^{2})}^{- 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 3.8

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$(1 - x) (- 2 {(1 + x^{2})}^{- 2} x) + {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 3.9

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(1 - x) (- 2 {(1 + x^{2})}^{- 2} x) + {(1 + x^{2})}^{- 1} (- \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(1 - x) (- 2 {(1 + x^{2})}^{- 2} x) + {(1 + x^{2})}^{- 1} (- 1 \cdot 1)$

ステップ 3.11

式を簡約します。

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ステップ 3.11.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$(1 - x) (- 2 {(1 + x^{2})}^{- 2} x) + {(1 + x^{2})}^{- 1} \cdot - 1$

ステップ 3.11.2

$- 1$ を ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ の左に移動させます。

$(1 - x) (- 2 {(1 + x^{2})}^{- 2} x) - 1 \cdot {(1 + x^{2})}^{- 1}$

ステップ 3.11.3

$- 1 {(1 + x^{2})}^{- 1}$ を $- {(1 + x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$(1 - x) (- 2 {(1 + x^{2})}^{- 2} x) - {(1 + x^{2})}^{- 1}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$(1 - x) (- 2 \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} x) - {(1 + x^{2})}^{- 1}$

ステップ 4.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$(1 - x) (- 2 \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} x) - \frac{1}{1 + x^{2}}$

ステップ 4.3

項をまとめます。

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ステップ 4.3.1

$- 2$ と $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ をまとめます。

$(1 - x) (\frac{- 2}{{(1 + x^{2})}^{2}} x) - \frac{1}{1 + x^{2}}$

ステップ 4.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$(1 - x) (- \frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}} x) - \frac{1}{1 + x^{2}}$

ステップ 4.3.3

$x$ と $\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ をまとめます。

$(1 - x) (- \frac{x \cdot 2}{{(1 + x^{2})}^{2}}) - \frac{1}{1 + x^{2}}$

ステップ 4.3.4

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$(1 - x) (- \frac{2 \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}}) - \frac{1}{1 + x^{2}}$

ステップ 4.3.5

$(1 - x) (- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ を掛けます。

$(1 - x) (- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}) \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 + x^{2}}$

ステップ 4.3.6

$(1 - x) (- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}})$ と $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{(1 - x) (- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 + x^{2}}$

ステップ 4.3.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(1 - x) (- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}) (1 + x^{2}) - 1}{1 + x^{2}}$

ステップ 4.4

項を並べ替えます。

$\frac{- (1 + x^{2}) (1 - x) \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}} - 1}{x^{2} + 1}$

ステップ 4.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.5.1

$- 1$ を $- (1 + x^{2}) (1 - x) \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}} - 1$ で因数分解します。

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ステップ 4.5.1.1

式を並べ替えます。

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ステップ 4.5.1.1.1

$1$ と $x^{2}$ を並べ替えます。

$\frac{- (x^{2} + 1) (1 - x) \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}} - 1}{x^{2} + 1}$

ステップ 4.5.1.1.2

$1$ と $- x$ を並べ替えます。

$\frac{- (x^{2} + 1) (- x + 1) \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}} - 1}{x^{2} + 1}$

ステップ 4.5.1.1.3

$1$ と $x^{2}$ を並べ替えます。

$\frac{- (x^{2} + 1) (- x + 1) \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} - 1}{x^{2} + 1}$

ステップ 4.5.1.2

$- 1$ を $- (x^{2} + 1) (- x + 1) \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ で因数分解します。

$\frac{- (((x^{2} + 1) (- x + 1)) \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}) - 1}{x^{2} + 1}$

ステップ 4.5.1.3

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{- (((x^{2} + 1) (- x + 1)) \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}) - 1 (1)}{x^{2} + 1}$

ステップ 4.5.1.4

$- 1$ を $- (((x^{2} + 1) (- x + 1)) \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}) - 1 (1)$ で因数分解します。

$\frac{- (((x^{2} + 1) (- x + 1)) \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 1)}{x^{2} + 1}$

ステップ 4.5.2

$x^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.5.2.1

$x^{2} + 1$ を ${(x^{2} + 1)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- ((x^{2} + 1) (- x + 1) \frac{2 x}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)} + 1)}{x^{2} + 1}$

ステップ 4.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{- ((x^{2} + 1) (- x + 1) \frac{2 x}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)} + 1)}{x^{2} + 1}$

ステップ 4.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- ((- x + 1) \frac{2 x}{x^{2} + 1} + 1)}{x^{2} + 1}$

ステップ 4.5.3

$- x + 1$ に $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ をかけます。

$\frac{- (\frac{(- x + 1) (2 x)}{x^{2} + 1} + 1)}{x^{2} + 1}$

ステップ 4.5.4

$2$ を $- x + 1$ の左に移動させます。

$\frac{- (\frac{2 \cdot (- x + 1) x}{x^{2} + 1} + 1)}{x^{2} + 1}$

ステップ 4.5.5

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{- (\frac{2 (- x + 1) x}{x^{2} + 1} + \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1})}{x^{2} + 1}$

ステップ 4.5.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- \frac{2 (- x + 1) x + x^{2} + 1}{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

ステップ 4.5.7

項を並べ替えます。

$\frac{- \frac{x^{2} + 2 x (- x + 1) + 1}{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

ステップ 4.5.8

因数分解した形で $\frac{x^{2} + 2 x (- x + 1) + 1}{x^{2} + 1}$ を書き換えます。

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ステップ 4.5.8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- \frac{x^{2} + 2 x (- x) + 2 x \cdot 1 + 1}{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

ステップ 4.5.8.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- \frac{x^{2} + 2 \cdot - 1 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 1}{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

ステップ 4.5.8.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{- \frac{x^{2} + 2 \cdot - 1 x \cdot x + 2 x + 1}{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

ステップ 4.5.8.4

各項を簡約します。

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ステップ 4.5.8.4.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.5.8.4.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{- \frac{x^{2} + 2 \cdot - 1 (x \cdot x) + 2 x + 1}{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

ステップ 4.5.8.4.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{- \frac{x^{2} + 2 \cdot - 1 x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

ステップ 4.5.8.4.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- \frac{x^{2} - 2 x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

ステップ 4.5.8.5

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$\frac{- \frac{- x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

ステップ 4.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{- x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}$

ステップ 4.7

$- \frac{- x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}$ を掛けます。

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ステップ 4.7.1

$\frac{1}{x^{2} + 1}$ に $\frac{- x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + 1}$ をかけます。

$- \frac{- x^{2} + 2 x + 1}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}$

ステップ 4.7.2

$x^{2} + 1$ を $1$ 乗します。

$- \frac{- x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{1} (x^{2} + 1)}$

ステップ 4.7.3

$x^{2} + 1$ を $1$ 乗します。

$- \frac{- x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{1} {(x^{2} + 1)}^{1}}$

ステップ 4.7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{- x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{1 + 1}}$

ステップ 4.7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{- x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.8

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$- \frac{- (x^{2}) + 2 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.9

$- 1$ を $2 x$ で因数分解します。

$- \frac{- (x^{2}) - (- 2 x) + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.10

$- 1$ を $- (x^{2}) - (- 2 x)$ で因数分解します。

$- \frac{- (x^{2} - 2 x) + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.11

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$- \frac{- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.12

$- 1$ を $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$- \frac{- (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.13

$- (x^{2} - 2 x - 1)$ を $- 1 (x^{2} - 2 x - 1)$ に書き換えます。

$- \frac{- 1 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.14

分数の前に負数を移動させます。

$- - \frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.15

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.16

$\frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例