微分積分例

$y = (2 x^{5} + 3) \cos (x^{2})$

ステップ 1

$f (x) = 2 x^{5} + 3$ および $g (x) = \cos (x^{2})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})] + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3]$

ステップ 2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$(2 x^{5} + 3) (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3]$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$(2 x^{5} + 3) (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$(2 x^{5} + 3) (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(2 x^{5} + 3) (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3]$

ステップ 3.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(2 x^{5} + 3) (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3]$

ステップ 3.3

総和則では、 $2 x^{5} + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$(2 x^{5} + 3) (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3])$

ステップ 3.4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{5}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$(2 x^{5} + 3) (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3])$

ステップ 3.5

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(2 x^{5} + 3) (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [3])$

ステップ 3.6

$5$ に $2$ をかけます。

$(2 x^{5} + 3) (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (10 x^{4} + \frac{d}{d x} [3])$

ステップ 3.7

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$(2 x^{5} + 3) (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (10 x^{4} + 0)$

ステップ 3.8

$10 x^{4}$ と $0$ をたし算します。

$(2 x^{5} + 3) (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (10 x^{4})$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$2 x^{5} (- 2 \sin (x^{2}) x) + 3 (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (10 x^{4})$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$- 4 x^{5} (\sin (x^{2}) x) + 3 (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (10 x^{4})$

ステップ 4.2.2

$x$ を $1$ 乗します。

$- 4 (x^{1} x^{5}) \sin (x^{2}) + 3 (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (10 x^{4})$

ステップ 4.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 4 x^{1 + 5} \sin (x^{2}) + 3 (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (10 x^{4})$

ステップ 4.2.4

$1$ と $5$ をたし算します。

$- 4 x^{6} \sin (x^{2}) + 3 (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (10 x^{4})$

ステップ 4.2.5

$- 2$ に $3$ をかけます。

$- 4 x^{6} \sin (x^{2}) - 6 \sin (x^{2}) x + \cos (x^{2}) (10 x^{4})$

ステップ 4.3

項を並べ替えます。

$- 4 x^{6} \sin (x^{2}) - 6 x \sin (x^{2}) + 10 x^{4} \cos (x^{2})$

微分積分 例

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