微分積分例

$y = (x - 1) \ln (x - 1)$

ステップ 1

$f (x) = x - 1$ および $g (x) = \ln (x - 1)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x - 1) \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)] + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 1$ とします。

$(x - 1) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$(x - 1) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$(x - 1) (\frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 3.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} (1 + 0) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 3.4

式を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} \cdot 1 + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 3.4.2

$x - 1$ に $1$ をかけます。

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 3.5

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} + \ln (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} + \ln (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 3.7

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} + \ln (x - 1) (1 + 0)$

ステップ 3.8

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 3.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} + \ln (x - 1) \cdot 1$

ステップ 3.8.2

$\ln (x - 1)$ に $1$ をかけます。

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} + \ln (x - 1)$

ステップ 3.8.3

$x - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.8.3.1

共通因数を約分します。

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} + \ln (x - 1)$

ステップ 3.8.3.2

式を書き換えます。

$1 + \ln (x - 1)$

微分積分 例

微分積分例