微分積分例

$\ln (\sec (\frac{2}{x}))$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \sec (\frac{2}{x})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sec (\frac{2}{x})$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec (\frac{2}{x})]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sec (\frac{2}{x})]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sec (\frac{2}{x})$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sec (\frac{2}{x})} \frac{d}{d x} [\sec (\frac{2}{x})]$

ステップ 2

正弦と余弦に関して $\sec (\frac{2}{x})$ を書き換えます。

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (\frac{2}{x})}} \frac{d}{d x} [\sec (\frac{2}{x})]$

ステップ 3

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\cos (\frac{2}{x})}$ で割ります。

$1 \cos (\frac{2}{x}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{2}{x})]$

ステップ 4

$\cos (\frac{2}{x})$ に $1$ をかけます。

$\cos (\frac{2}{x}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{2}{x})]$

ステップ 5

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = \frac{2}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\frac{2}{x}$ とします。

$\cos (\frac{2}{x}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}])$

ステップ 5.2

$u_{2}$ に関する $\sec (u_{2})$ の微分係数は $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ です。

$\cos (\frac{2}{x}) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}])$

ステップ 5.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\frac{2}{x}$ で置き換えます。

$\cos (\frac{2}{x}) (\sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}])$

ステップ 6

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2}{x}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

ステップ 6.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

ステップ 6.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (2 (- x^{- 2}))$

ステップ 6.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (- 2 x^{- 2})$

ステップ 7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (- 2 \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 7.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) \frac{- 2}{x^{2}}$

ステップ 7.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (- \frac{2}{x^{2}})$

ステップ 7.2.3

$\cos (\frac{2}{x})$ と $\frac{2}{x^{2}}$ をまとめます。

$\sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (- \frac{\cos (\frac{2}{x}) \cdot 2}{x^{2}})$

ステップ 7.2.4

$\sec (\frac{2}{x})$ と $\frac{\cos (\frac{2}{x}) \cdot 2}{x^{2}}$ をまとめます。

$\tan (\frac{2}{x}) (- \frac{\sec (\frac{2}{x}) (\cos (\frac{2}{x}) \cdot 2)}{x^{2}})$

ステップ 7.2.5

$\tan (\frac{2}{x})$ と $\frac{\sec (\frac{2}{x}) (\cos (\frac{2}{x}) \cdot 2)}{x^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{\tan (\frac{2}{x}) (\sec (\frac{2}{x}) (\cos (\frac{2}{x}) \cdot 2))}{x^{2}}$

ステップ 7.2.6

$2$ を $\cos (\frac{2}{x})$ の左に移動させます。

$- \frac{\tan (\frac{2}{x}) (\sec (\frac{2}{x}) (2 \cdot \cos (\frac{2}{x})))}{x^{2}}$

ステップ 7.2.7

$2$ を $\sec (\frac{2}{x})$ の左に移動させます。

$- \frac{\tan (\frac{2}{x}) (2 \cdot \sec (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x}))}{x^{2}}$

ステップ 7.2.8

$2$ を $\tan (\frac{2}{x})$ の左に移動させます。

$- \frac{2 \tan (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

ステップ 7.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

正弦と余弦に関して $\tan (\frac{2}{x})$ を書き換えます。

$- \frac{2 \frac{\sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})} \sec (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

ステップ 7.3.2

正弦と余弦に関して $\sec (\frac{2}{x})$ を書き換えます。

$- \frac{2 \frac{\sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})} \frac{1}{\cos (\frac{2}{x})} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

ステップ 7.3.3

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.1

$2$ と $\frac{\sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})}$ をまとめます。

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})} \cdot \frac{1}{\cos (\frac{2}{x})} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

ステップ 7.3.3.2

$\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})}$ に $\frac{1}{\cos (\frac{2}{x})}$ をかけます。

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

ステップ 7.3.3.3

$\cos (\frac{2}{x})$ を $1$ 乗します。

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos^{1} (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

ステップ 7.3.3.4

$\cos (\frac{2}{x})$ を $1$ 乗します。

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos^{1} (\frac{2}{x}) \cos^{1} (\frac{2}{x})} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

ステップ 7.3.3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{{\cos (\frac{2}{x})}^{1 + 1}} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

ステップ 7.3.3.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos^{2} (\frac{2}{x})} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

ステップ 7.3.3.7

$\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos^{2} (\frac{2}{x})}$ と $\cos (\frac{2}{x})$ をまとめます。

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})}{\cos^{2} (\frac{2}{x})}}{x^{2}}$

ステップ 7.3.4

今日数因数で約分することで式 $\frac{2 \sin (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})}{\cos^{2} (\frac{2}{x})}$ を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.4.1

$\cos (\frac{2}{x})$ を $2 \sin (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})$ で因数分解します。

$- \frac{\frac{\cos (\frac{2}{x}) (2 \sin (\frac{2}{x}))}{\cos^{2} (\frac{2}{x})}}{x^{2}}$

ステップ 7.3.4.2

$\cos (\frac{2}{x})$ を $\cos^{2} (\frac{2}{x})$ で因数分解します。

$- \frac{\frac{\cos (\frac{2}{x}) (2 \sin (\frac{2}{x}))}{\cos (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})}}{x^{2}}$

ステップ 7.3.4.3

共通因数を約分します。

$- \frac{\frac{\cos (\frac{2}{x}) (2 \sin (\frac{2}{x}))}{\cos (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})}}{x^{2}}$

ステップ 7.3.4.4

式を書き換えます。

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})}}{x^{2}}$

ステップ 7.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$- (\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 7.5

まとめる。

$- \frac{2 \sin (\frac{2}{x}) \cdot 1}{\cos (\frac{2}{x}) x^{2}}$

ステップ 7.6

$2$ に $1$ をかけます。

$- \frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x}) x^{2}}$

ステップ 7.7

分数を分解します。

$- (\frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{\sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})})$

ステップ 7.8

$\frac{\sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})}$ を $\tan (\frac{2}{x})$ に変換します。

$- (\frac{2}{x^{2}} \tan (\frac{2}{x}))$

ステップ 7.9

$\frac{2}{x^{2}}$ と $\tan (\frac{2}{x})$ をまとめます。

$- \frac{2 \tan (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

微分積分 例

微分積分例