微分積分例

$arcsec (\frac{1}{x})$

ステップ 1

$f (x) = arcsec (x)$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{1}{x}$ とします。

$\frac{d}{d u} [arcsec (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $arcsec (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ です。

$\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{1}{x}$ で置き換えます。

$\frac{1}{\frac{1}{x} \sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 2

$\frac{1}{x}$ と $\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}$ をまとめます。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 3

分数の逆数を掛け、 $\frac{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}}{x}$ で割ります。

$1 \frac{x}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 4

式を簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{x}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 4.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{x}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 5

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}} (- x^{- 2})$

ステップ 6

$\frac{x}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}}$ と $x^{- 2}$ をまとめます。

$- \frac{x \cdot x^{- 2}}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}}$

ステップ 7

指数を足して $x$ に $x^{- 2}$ を掛けます。

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ステップ 7.1

$x$ に $x^{- 2}$ をかけます。

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ステップ 7.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{x^{1} x^{- 2}}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}}$

ステップ 7.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{x^{1 - 2}}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}}$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$- \frac{x^{- 1}}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}}$

ステップ 8

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 1}$ を分母に移動させます。

$- \frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1} x}$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

積の法則を $\frac{1}{x}$ に当てはめます。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1^{2}}{x^{2}} - 1} x}$

ステップ 9.2

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^{2}} - 1} x}$

微分積分 例

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