微分積分例

$arccsc (x^{2} + 1)$

ステップ 1

$f (x) = arccsc (x)$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [arccsc (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $arccsc (u)$ の微分係数は $- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ です。

$- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$- \frac{1}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$- \frac{1}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{1}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (2 x + 0)$

ステップ 2.4

分数をまとめます。

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ステップ 2.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{1}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (2 x)$

ステップ 2.4.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \frac{1}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}} x$

ステップ 2.4.3

$- 2$ と $\frac{1}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}} x$

ステップ 2.4.4

$\frac{- 2}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{- 2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}}$

ステップ 2.4.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分母を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1^{2}}}$

ステップ 3.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x^{2} + 1$ であり、 $b = 1$ です。

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{(x^{2} + 1 + 1) (x^{2} + 1 - 1)}}$

ステップ 3.1.3

簡約します。

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ステップ 3.1.3.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{(x^{2} + 2) (x^{2} + 1 - 1)}}$

ステップ 3.1.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{(x^{2} + 2) (x^{2} + 0)}}$

ステップ 3.1.3.3

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{(x^{2} + 2) x^{2}}}$

ステップ 3.1.4

$x^{2} + 2$ と $x^{2}$ を並べ替えます。

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} (x^{2} + 2)}}$

ステップ 3.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2}}$

ステップ 3.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

共通因数を約分します。

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2}}$

ステップ 3.2.2

式を書き換えます。

$- \frac{2}{(x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 2}}$

ステップ 3.3

$\frac{2}{(x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 2}}$ に $\frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ をかけます。

$- (\frac{2}{(x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 2}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}})$

ステップ 3.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.4.1

$\frac{2}{(x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 2}}$ に $\frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ をかけます。

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 2} \sqrt{x^{2} + 2}}$

ステップ 3.4.2

$\sqrt{x^{2} + 2}$ を移動させます。

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) (\sqrt{x^{2} + 2} \sqrt{x^{2} + 2})}$

ステップ 3.4.3

$\sqrt{x^{2} + 2}$ を $1$ 乗します。

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) ({\sqrt{x^{2} + 2}}^{1} \sqrt{x^{2} + 2})}$

ステップ 3.4.4

$\sqrt{x^{2} + 2}$ を $1$ 乗します。

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) ({\sqrt{x^{2} + 2}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 2}}^{1})}$

ステップ 3.4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {\sqrt{x^{2} + 2}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {\sqrt{x^{2} + 2}}^{2}}$

ステップ 3.4.7

${\sqrt{x^{2} + 2}}^{2}$ を $x^{2} + 2$ に書き換えます。

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ステップ 3.4.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} + 2}$ を ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.4.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.4.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.4.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.7.4.1

共通因数を約分します。

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.4.7.4.2

式を書き換えます。

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{1}}$

ステップ 3.4.7.5

簡約します。

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 2)}$

微分積分 例

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