微分積分例

$\frac{f (x) (a x + b x^{2})}{a m + b m^{2}}$

ステップ 1

$x$ を $a x + b x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 1.1

$x$ を $a x$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x) (x a + b x^{2})}{a m + b m^{2}}]$

ステップ 1.2

$x$ を $b x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x) (x a + x (b x))}{a m + b m^{2}}]$

ステップ 1.3

$x$ を $x a + x (b x)$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x) (x (a + b x))}{a m + b m^{2}}]$

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x) x (a + b x)}{a m + b m^{2}}]$

ステップ 2

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 2.1

$m$ を $a m + b m^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$m$ を $a m$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x) x (a + b x)}{m a + b m^{2}}]$

ステップ 2.1.2

$m$ を $b m^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x) x (a + b x)}{m a + m (b m)}]$

ステップ 2.1.3

$m$ を $m a + m (b m)$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x) x (a + b x)}{m (a + b m)}]$

ステップ 2.2

$\frac{f (x) x (a + b x)}{m (a + b m)}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{x (a + b x) f (x)}{m (a + b m)}]$

ステップ 2.3

$\frac{f (x)}{m (a + b m)}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x (a + b x) f (x)}{m (a + b m)}$ の微分係数は $\frac{f (x)}{m (a + b m)} \frac{d}{d x} [x (a + b x)]$ です。

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} \frac{d}{d x} [x (a + b x)]$

ステップ 3

$f (x) = x$ および $g (x) = a + b x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (x \frac{d}{d x} [a + b x] + (a + b x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

総和則では、 $a + b x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [b x]$ です。

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (x (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [b x]) + (a + b x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.2

$a$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $a$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (x (0 + \frac{d}{d x} [b x]) + (a + b x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [b x]$ をたし算します。

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (x \frac{d}{d x} [b x] + (a + b x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.4

$b$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $b x$ の微分係数は $b \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (x (b \frac{d}{d x} [x]) + (a + b x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (x (b \cdot 1) + (a + b x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.6

$b$ に $1$ をかけます。

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (x b + (a + b x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (x b + (a + b x) \cdot 1)$

ステップ 4.8

$a + b x$ に $1$ をかけます。

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (x b + a + b x)$

ステップ 5

$x b$ と $b x$ をたし算します。

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ステップ 5.1

$x$ と $b$ を並べ替えます。

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (a + b x + b x)$

ステップ 5.2

$b x$ と $b x$ をたし算します。

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (a + 2 b x)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{f (x)}{m a + m (b m)} (a + 2 b x)$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{f (x)}{m a + m (b m)} a + \frac{f (x)}{m a + m (b m)} (2 b x)$

ステップ 6.3

項をまとめます。

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ステップ 6.3.1

$m$ を $1$ 乗します。

$\frac{f (x)}{m a + b (m^{1} m)} a + \frac{f (x)}{m a + m (b m)} (2 b x)$

ステップ 6.3.2

$m$ を $1$ 乗します。

$\frac{f (x)}{m a + b (m^{1} m^{1})} a + \frac{f (x)}{m a + m (b m)} (2 b x)$

ステップ 6.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{f (x)}{m a + b m^{1 + 1}} a + \frac{f (x)}{m a + m (b m)} (2 b x)$

ステップ 6.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{f (x)}{m a + b m^{2}} a + \frac{f (x)}{m a + m (b m)} (2 b x)$

ステップ 6.3.5

$\frac{f (x)}{m a + b m^{2}}$ と $a$ をまとめます。

$\frac{f (x) a}{m a + b m^{2}} + \frac{f (x)}{m a + m (b m)} (2 b x)$

ステップ 6.3.6

$m$ を $1$ 乗します。

$\frac{f (x) a}{m a + b m^{2}} + \frac{f (x)}{m a + b (m^{1} m)} (2 b x)$

ステップ 6.3.7

$m$ を $1$ 乗します。

$\frac{f (x) a}{m a + b m^{2}} + \frac{f (x)}{m a + b (m^{1} m^{1})} (2 b x)$

ステップ 6.3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{f (x) a}{m a + b m^{2}} + \frac{f (x)}{m a + b m^{1 + 1}} (2 b x)$

ステップ 6.3.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{f (x) a}{m a + b m^{2}} + \frac{f (x)}{m a + b m^{2}} (2 b x)$

ステップ 6.3.10

$2$ と $\frac{f (x)}{m a + b m^{2}}$ をまとめます。

$\frac{f (x) a}{m a + b m^{2}} + \frac{2 f (x)}{m a + b m^{2}} (b x)$

ステップ 6.3.11

$b$ と $\frac{2 f (x)}{m a + b m^{2}}$ をまとめます。

$\frac{f (x) a}{m a + b m^{2}} + \frac{b (2 f (x))}{m a + b m^{2}} x$

ステップ 6.3.12

$\frac{b (2 f (x))}{m a + b m^{2}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{f (x) a}{m a + b m^{2}} + \frac{b (2 f (x)) x}{m a + b m^{2}}$

ステップ 6.3.13

$2$ を $b$ の左に移動させます。

$\frac{f (x) a}{m a + b m^{2}} + \frac{2 \cdot b f (x) x}{m a + b m^{2}}$

ステップ 6.3.14

公分母の分子をまとめます。

$\frac{f (x) a + 2 b f (x) x}{m a + b m^{2}}$

ステップ 6.4

項を並べ替えます。

$\frac{a f (x) + 2 b x f (x)}{a m + m^{2} b}$

微分積分 例

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