微分積分例

$f (x) = 3 x^{2} e^{4 x + 1}$

ステップ 1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2} e^{4 x + 1}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{4 x + 1}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{4 x + 1}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = e^{4 x + 1}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{4 x + 1}] + e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 4 x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x + 1$ とします。

$3 (x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x + 1]) + e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$3 (x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [4 x + 1]) + e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $4 x + 1$ で置き換えます。

$3 (x^{2} (e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [4 x + 1]) + e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

総和則では、 $4 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$3 (x^{2} (e^{4 x + 1} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1])) + e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 (x^{2} (e^{4 x + 1} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (x^{2} (e^{4 x + 1} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])) + e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.4

$4$ に $1$ をかけます。

$3 (x^{2} (e^{4 x + 1} (4 + \frac{d}{d x} [1])) + e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$3 (x^{2} (e^{4 x + 1} (4 + 0)) + e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.6

式を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$4$ と $0$ をたし算します。

$3 (x^{2} (e^{4 x + 1} \cdot 4) + e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.6.2

$4$ を $e^{4 x + 1}$ の左に移動させます。

$3 (x^{2} (4 \cdot e^{4 x + 1}) + e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (x^{2} (4 e^{4 x + 1}) + e^{4 x + 1} (2 x))$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$3 (x^{2} (4 e^{4 x + 1})) + 3 (e^{4 x + 1} (2 x))$

ステップ 5.2

項をまとめます。

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ステップ 5.2.1

$4$ に $3$ をかけます。

$12 (x^{2} (e^{4 x + 1})) + 3 (e^{4 x + 1} (2 x))$

ステップ 5.2.2

$2$ に $3$ をかけます。

$12 x^{2} e^{4 x + 1} + 6 e^{4 x + 1} x$

ステップ 5.3

項を並べ替えます。

$12 e^{4 x + 1} x^{2} + 6 e^{4 x + 1} x$

ステップ 5.4

$12 e^{4 x + 1} x^{2} + 6 e^{4 x + 1} x$ の因数を並べ替えます。

$12 x^{2} e^{4 x + 1} + 6 x e^{4 x + 1}$

微分積分 例

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