微分積分例

$f (x) = 4 \ln (x) + \ln (x^{6}) + 8 e^{x}$

ステップ 1

総和則では、 $4 \ln (x) + \ln (x^{6}) + 8 e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [4 \ln (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 \ln (x)$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

ステップ 2.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$4 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

ステップ 2.3

$4$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{4}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{6})]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{6}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{6}$ とします。

$\frac{4}{x} + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

ステップ 3.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{4}{x} + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{6}$ で置き換えます。

$\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{6}} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

ステップ 3.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{6}} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

ステップ 3.3

$6$ と $\frac{1}{x^{6}}$ をまとめます。

$\frac{4}{x} + \frac{6}{x^{6}} x^{5} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

ステップ 3.4

$\frac{6}{x^{6}}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$\frac{4}{x} + \frac{6 x^{5}}{x^{6}} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

ステップ 3.5

$x^{5}$ と $x^{6}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.1

$x^{5}$ を $6 x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{4}{x} + \frac{x^{5} \cdot 6}{x^{6}} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

ステップ 3.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.1

$x^{5}$ を $x^{6}$ で因数分解します。

$\frac{4}{x} + \frac{x^{5} \cdot 6}{x^{5} x} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

ステップ 3.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4}{x} + \frac{x^{5} \cdot 6}{x^{5} x} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

ステップ 3.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4}{x} + \frac{6}{x} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

ステップ 4

$\frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 e^{x}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$\frac{4}{x} + \frac{6}{x} + 8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{4}{x} + \frac{6}{x} + 8 e^{x}$

ステップ 5

項をまとめます。

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ステップ 5.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 + 6}{x} + 8 e^{x}$

ステップ 5.2

$4$ と $6$ をたし算します。

$\frac{10}{x} + 8 e^{x}$

微分積分 例

微分積分例