微分積分例

$f (x) = \frac{\cot (x)}{e^{x}}$

ステップ 1

$f (x) = \cot (x)$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\cot (x)] - \cot (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

ステップ 2

${(e^{x})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\cot (x)] - \cot (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

ステップ 2.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\cot (x)] - \cot (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 3

$x$ に関する $\cot (x)$ の微分係数は $- \csc^{2} (x)$ です。

$\frac{e^{x} (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 4

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{e^{x} (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- e^{x} \csc^{2} (x) - \cot (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 5.1.2

$- e^{x} \csc^{2} (x) - \cot (x) e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{- e^{x} \csc^{2} (x) - e^{x} \cot (x)}{e^{2 x}}$

ステップ 5.2

$e^{x}$ を $- e^{x} \csc^{2} (x) - e^{x} \cot (x)$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$e^{x}$ を $- e^{x} \csc^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (- \csc^{2} (x)) - e^{x} \cot (x)}{e^{2 x}}$

ステップ 5.2.2

$e^{x}$ を $- e^{x} \cot (x)$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (- \csc^{2} (x)) + e^{x} (- \cot (x))}{e^{2 x}}$

ステップ 5.2.3

$e^{x}$ を $e^{x} (- \csc^{2} (x)) + e^{x} (- \cot (x))$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (- \csc^{2} (x) - \cot (x))}{e^{2 x}}$

ステップ 5.3

$e^{x}$ と $e^{2 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1

$e^{2 x}$ を $e^{x} (- \csc^{2} (x) - \cot (x))$ で因数分解します。

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- \csc^{2} (x) - \cot (x)))}{e^{2 x}}$

ステップ 5.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- \csc^{2} (x) - \cot (x)))}{e^{2 x} \cdot 1}$

ステップ 5.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- \csc^{2} (x) - \cot (x)))}{e^{2 x} \cdot 1}$

ステップ 5.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{e^{- x} (- \csc^{2} (x) - \cot (x))}{1}$

ステップ 5.3.2.4

$e^{- x} (- \csc^{2} (x) - \cot (x))$ を $1$ で割ります。

$e^{- x} (- \csc^{2} (x) - \cot (x))$

ステップ 5.4

分配則を当てはめます。

$e^{- x} (- \csc^{2} (x)) + e^{- x} (- \cot (x))$

ステップ 5.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$- e^{- x} \csc^{2} (x) + e^{- x} (- \cot (x))$

ステップ 5.6

積の可換性を利用して書き換えます。

$- e^{- x} \csc^{2} (x) - e^{- x} \cot (x)$

微分積分 例

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