微分積分例

$1 - \frac{x^{2}}{6} < \frac{x \sin (x)}{2 - 2 \cos (x)} < 1$

ステップ 1

$2$ を $2 - 2 \cos (x)$ で因数分解します。

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ステップ 1.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$1 - \frac{x^{2}}{6} < \frac{x \sin (x)}{2 (1) - 2 \cos (x)} < 1$

ステップ 1.2

$2$ を $- 2 \cos (x)$ で因数分解します。

$1 - \frac{x^{2}}{6} < \frac{x \sin (x)}{2 (1) + 2 (- \cos (x))} < 1$

ステップ 1.3

$2$ を $2 (1) + 2 (- \cos (x))$ で因数分解します。

$1 - \frac{x^{2}}{6} < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} < 1$

ステップ 2

不等式の各項に $2 (1 - \cos (x))$ を掛けます。

$1 (2 (1 - \cos (x))) - \frac{x^{2}}{6} (2 (1 - \cos (x))) < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} (2 (1 - \cos (x))) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

ステップ 3

各項を簡約します。

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ステップ 3.1

$2 (1 - \cos (x))$ に $1$ をかけます。

$2 (1 - \cos (x)) - \frac{x^{2}}{6} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$2 \cdot 1 + 2 (- \cos (x)) - \frac{x^{2}}{6} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

ステップ 3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + 2 (- \cos (x)) - \frac{x^{2}}{6} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

ステップ 3.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{6} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

ステップ 3.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.1

$- \frac{x^{2}}{6}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$2 - 2 \cos (x) + \frac{- x^{2}}{6} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

ステップ 3.5.2

$2$ を $6$ で因数分解します。

$2 - 2 \cos (x) + \frac{- x^{2}}{2 (3)} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

ステップ 3.5.3

共通因数を約分します。

$2 - 2 \cos (x) + \frac{- x^{2}}{2 \cdot 3} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

ステップ 3.5.4

式を書き換えます。

$2 - 2 \cos (x) + \frac{- x^{2}}{3} \cdot (1 - \cos (x)) < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

ステップ 3.6

分数の前に負数を移動させます。

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} \cdot (1 - \cos (x)) < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

ステップ 3.7

分配則を当てはめます。

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} \cdot 1 - \frac{x^{2}}{3} \cdot (- \cos (x)) < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

ステップ 3.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} - \frac{x^{2}}{3} \cdot (- \cos (x)) < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

ステップ 3.9

$- \frac{x^{2}}{3} (- \cos (x))$ を掛けます。

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ステップ 3.9.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} + 1 (\frac{x^{2}}{3}) \cdot \cos (x) < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

ステップ 3.9.2

$\frac{x^{2}}{3}$ に $1$ をかけます。

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} + \frac{x^{2}}{3} \cdot \cos (x) < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

ステップ 3.9.3

$\frac{x^{2}}{3}$ と $\cos (x)$ をまとめます。

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} + \frac{x^{2} \cos (x)}{3} < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

ステップ 4

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} + \frac{x^{2} \cos (x)}{3} < 2 (\frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))}) \cdot (1 - \cos (x)) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

ステップ 5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1

共通因数を約分します。

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} + \frac{x^{2} \cos (x)}{3} < 2 (\frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))}) \cdot (1 - \cos (x)) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

ステップ 5.2

式を書き換えます。

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} + \frac{x^{2} \cos (x)}{3} < \frac{x \sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot (1 - \cos (x)) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

ステップ 6

$1 - \cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1

共通因数を約分します。

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} + \frac{x^{2} \cos (x)}{3} < \frac{x \sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot (1 - \cos (x)) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

ステップ 6.2

式を書き換えます。

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} + \frac{x^{2} \cos (x)}{3} < x \sin (x) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

ステップ 7

$2 (1 - \cos (x))$ に $1$ をかけます。

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} + \frac{x^{2} \cos (x)}{3} < x \sin (x) < 2 (1 - \cos (x))$

ステップ 8

分配則を当てはめます。

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} + \frac{x^{2} \cos (x)}{3} < x \sin (x) < 2 \cdot 1 + 2 (- \cos (x))$

ステップ 9

掛け算します。

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ステップ 9.1

$2$ に $1$ をかけます。

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} + \frac{x^{2} \cos (x)}{3} < x \sin (x) < 2 + 2 (- \cos (x))$

ステップ 9.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} + \frac{x^{2} \cos (x)}{3} < x \sin (x) < 2 - 2 \cos (x)$

ステップ 10

不等式を区間記号に変換します。

$(2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} + \frac{x^{2} \cos (x)}{3}, 2 - 2 \cos (x))$

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例