微分積分例

$f (x) = \sqrt{8 - 4 x}$

ステップ 1

$f (x) = \sqrt{8 - 4 x}$ を方程式で書きます。

$y = \sqrt{8 - 4 x}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \sqrt{8 - 4 y}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $\sqrt{8 - 4 y} = x$ として書き換えます。

$\sqrt{8 - 4 y} = x$

ステップ 3.2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{8 - 4 y}}^{2} = x^{2}$

ステップ 3.3

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{8 - 4 y}$ を ${(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

${({(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

${({(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

ステップ 3.3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

ステップ 3.3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(8 - 4 y)}^{1} = x^{2}$

ステップ 3.3.2.1.2

簡約します。

$8 - 4 y = x^{2}$

ステップ 3.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$- 4 y = x^{2} - 8$

ステップ 3.4.2

$- 4 y = x^{2} - 8$ の各項を $- 4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$- 4 y = x^{2} - 8$ の各項を $- 4$ で割ります。

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{x^{2}}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

ステップ 3.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1

$- 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{x^{2}}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

ステップ 3.4.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{x^{2}}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

ステップ 3.4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 8}{- 4}$

ステップ 3.4.2.3.1.2

$- 8$ を $- 4$ で割ります。

$y = - \frac{x^{2}}{4} + 2$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 2$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 2$ が $f (x) = \sqrt{8 - 4 x}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{(\sqrt{8 - 4 x})}^{2}}{4} + 2$

ステップ 5.2.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1

$4$ を $8 - 4 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{\sqrt{4 (2) - 4 x}}^{2}}{4} + 2$

ステップ 5.2.3.1.1.2

$4$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{\sqrt{4 (2) + 4 (- x)}}^{2}}{4} + 2$

ステップ 5.2.3.1.1.3

$4$ を $4 (2) + 4 (- x)$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{\sqrt{4 (2 - x)}}^{2}}{4} + 2$

ステップ 5.2.3.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{\sqrt{2^{2} (2 - x)}}^{2}}{4} + 2$

ステップ 5.2.3.1.3

累乗根の下から項を取り出します。

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{(2 \sqrt{2 - x})}^{2}}{4} + 2$

ステップ 5.2.3.1.4

積の法則を $2 \sqrt{2 - x}$ に当てはめます。

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{2^{2} {\sqrt{2 - x}}^{2}}{4} + 2$

ステップ 5.2.3.1.5

$2$ を $2$ 乗します。

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 {\sqrt{2 - x}}^{2}}{4} + 2$

ステップ 5.2.3.1.6

${\sqrt{2 - x}}^{2}$ を $2 - x$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 - x}$ を ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 {({(2 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + 2$

ステップ 5.2.3.1.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 {(2 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + 2$

ステップ 5.2.3.1.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 {(2 - x)}^{\frac{2}{2}}}{4} + 2$

ステップ 5.2.3.1.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.6.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 {(2 - x)}^{\frac{2}{2}}}{4} + 2$

ステップ 5.2.3.1.6.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2 - x)}{4} + 2$

ステップ 5.2.3.1.6.5

簡約します。

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2 - x)}{4} + 2$

ステップ 5.2.3.1.7

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 \cdot 2 + 4 (- x)}{4} + 2$

ステップ 5.2.3.1.8

$4$ に $2$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{8 + 4 (- x)}{4} + 2$

ステップ 5.2.3.1.9

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{8 - 4 x}{4} + 2$

ステップ 5.2.3.1.10

$4$ を $8 - 4 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.10.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2) - 4 x}{4} + 2$

ステップ 5.2.3.1.10.2

$4$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2) + 4 (- x)}{4} + 2$

ステップ 5.2.3.1.10.3

$4$ を $4 (2) + 4 (- x)$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2 - x)}{4} + 2$

ステップ 5.2.3.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2 - x)}{4} + 2$

ステップ 5.2.3.2.2

$2 - x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - (2 - x) + 2$

ステップ 5.2.3.3

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - 1 \cdot 2 + x + 2$

ステップ 5.2.3.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - 2 + x + 2$

ステップ 5.2.3.5

$- - x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - 2 + 1 x + 2$

ステップ 5.2.3.5.2

$x$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - 2 + x + 2$

ステップ 5.2.4

$- 2 + x + 2$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.4.1

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = x + 0$

ステップ 5.2.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (- \frac{x^{2}}{4} + 2)$ の値を求めます。

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{8 - 4 (- \frac{x^{2}}{4} + 2)}$

ステップ 5.3.3

$4$ を $8 - 4 (- \frac{x^{2}}{4} + 2)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (2) - 4 (- \frac{x^{2}}{4} + 2)}$

ステップ 5.3.3.2

$4$ を $- 4 (- \frac{x^{2}}{4} + 2)$ で因数分解します。

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (2) + 4 (- (- \frac{x^{2}}{4} + 2))}$

ステップ 5.3.3.3

$4$ を $4 (2) + 4 (- (- \frac{x^{2}}{4} + 2))$ で因数分解します。

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (2 - (- \frac{x^{2}}{4} + 2))}$

ステップ 5.3.4

分配則を当てはめます。

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (2 + \frac{x^{2}}{4} - 1 \cdot 2)}$

ステップ 5.3.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (2 + \frac{x^{2}}{4} - 2)}$

ステップ 5.3.5.2

$2$ から $2$ を引きます。

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4} + 0)}$

ステップ 5.3.5.3

$\frac{x^{2}}{4}$ と $0$ をたし算します。

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4})}$

ステップ 5.3.6

$4$ と $\frac{x^{2}}{4}$ をまとめます。

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{\frac{4 x^{2}}{4}}$

ステップ 5.3.7

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.7.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{4 x^{2}}{4}$ を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.7.1.1

共通因数を約分します。

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{\frac{4 x^{2}}{4}}$

ステップ 5.3.7.1.2

式を書き換えます。

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

ステップ 5.3.7.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{x^{2}}$

ステップ 5.3.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 2$ は $f (x) = \sqrt{8 - 4 x}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 2$

微分積分 例

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