微分積分例

$f (x) = (4 e^{x} + \cos (x)) (e^{3 x} - \sin (x))$

ステップ 1

$f (x) = 4 e^{x} + \cos (x)$ および $g (x) = e^{3 x} - \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(4 e^{x} + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{3 x} - \sin (x)] + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

ステップ 2

総和則では、 $e^{3 x} - \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ です。

$(4 e^{x} + \cos (x)) (\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

ステップ 3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x$ とします。

$(4 e^{x} + \cos (x)) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$(4 e^{x} + \cos (x)) (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$(4 e^{x} + \cos (x)) (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(4 e^{x} + \cos (x)) (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(4 e^{x} + \cos (x)) (e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

ステップ 4.3

式を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$3$ に $1$ をかけます。

$(4 e^{x} + \cos (x)) (e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

ステップ 4.3.2

$3$ を $e^{3 x}$ の左に移動させます。

$(4 e^{x} + \cos (x)) (3 \cdot e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

ステップ 4.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \sin (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$(4 e^{x} + \cos (x)) (3 e^{3 x} - \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

ステップ 5

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$(4 e^{x} + \cos (x)) (3 e^{3 x} - \cos (x)) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

ステップ 6

微分します。

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ステップ 6.1

総和則では、 $4 e^{x} + \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 e^{x}] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$(4 e^{x} + \cos (x)) (3 e^{3 x} - \cos (x)) + (e^{3 x} - \sin (x)) (\frac{d}{d x} [4 e^{x}] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 6.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 e^{x}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$(4 e^{x} + \cos (x)) (3 e^{3 x} - \cos (x)) + (e^{3 x} - \sin (x)) (4 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 7

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$(4 e^{x} + \cos (x)) (3 e^{3 x} - \cos (x)) + (e^{3 x} - \sin (x)) (4 e^{x} + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 8

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$(4 e^{x} + \cos (x)) (3 e^{3 x} - \cos (x)) + (e^{3 x} - \sin (x)) (4 e^{x} - \sin (x))$

ステップ 9

項を並べ替えます。

$(3 e^{3 x} - \cos (x)) (4 e^{x} + \cos (x)) + (4 e^{x} - \sin (x)) (e^{3 x} - \sin (x))$

微分積分 例

微分積分例