微分積分例

$f (x) = \frac{\ln (1 + x^{2})}{\arctan (x)}$

ステップ 1

$f (x) = \ln (1 + x^{2})$ および $g (x) = \arctan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{\arctan (x) \frac{d}{d x} [\ln (1 + x^{2})] - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

ステップ 2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 1 + x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 + x^{2}$ とします。

$\frac{\arctan (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{\arctan (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $1 + x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{\arctan (x) (\frac{1}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{1 + x^{2}}$ と $\arctan (x)$ をまとめます。

$\frac{\frac{\arctan (x)}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

ステップ 3.2

総和則では、 $1 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{\frac{\arctan (x)}{1 + x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

ステップ 3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\frac{\arctan (x)}{1 + x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

ステップ 3.4

$0$ と $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ をたし算します。

$\frac{\frac{\arctan (x)}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

ステップ 3.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\frac{\arctan (x)}{1 + x^{2}} (2 x) - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

ステップ 3.6

分数をまとめます。

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ステップ 3.6.1

$2$ と $\frac{\arctan (x)}{1 + x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{\frac{2 \arctan (x)}{1 + x^{2}} x - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

ステップ 3.6.2

$\frac{2 \arctan (x)}{1 + x^{2}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{\frac{2 \arctan (x) x}{1 + x^{2}} - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

ステップ 4

$\frac{\frac{2 \arctan (x) x}{1 + x^{2}} - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$ に $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ をかけます。

$\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{\frac{2 \arctan (x) x}{1 + x^{2}} - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

ステップ 5

項を簡約します。

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ステップ 5.1

まとめる。

$\frac{(1 + x^{2}) (\frac{2 \arctan (x) x}{1 + x^{2}} - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)])}{(1 + x^{2}) {\arctan (x)}^{2}}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{2 \arctan (x) x}{1 + x^{2}} + (1 + x^{2}) (- \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)])}{(1 + x^{2}) {\arctan (x)}^{2}}$

ステップ 5.3

$1 + x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{2 \arctan (x) x}{1 + x^{2}} + (1 + x^{2}) (- \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)])}{(1 + x^{2}) {\arctan (x)}^{2}}$

ステップ 5.3.2

式を書き換えます。

$\frac{2 \arctan (x) x + (1 + x^{2}) (- \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)])}{(1 + x^{2}) {\arctan (x)}^{2}}$

ステップ 6

$x$ に関する $\arctan (x)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + x^{2}}$ です。

$\frac{2 \arctan (x) x + (1 + x^{2}) (- \ln (1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2}) {\arctan (x)}^{2}}$

ステップ 7

$\frac{1}{1 + x^{2}}$ と $\ln (1 + x^{2})$ をまとめます。

$\frac{2 \arctan (x) x + (1 + x^{2}) (- \frac{\ln (1 + x^{2})}{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2}) {\arctan (x)}^{2}}$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \arctan (x) x + (1 + x^{2}) (- \frac{\ln (1 + x^{2})}{1 + x^{2}})}{1 {\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

ステップ 8.2

分子を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$1 + x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1.1

$- \frac{\ln (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{2 \arctan (x) x + (1 + x^{2}) \frac{- \ln (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}}{1 {\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

ステップ 8.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \arctan (x) x + (1 + x^{2}) \frac{- \ln (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}}{1 {\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

ステップ 8.2.1.3

式を書き換えます。

$\frac{2 \arctan (x) x - \ln (1 + x^{2})}{1 {\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

ステップ 8.2.2

$2 \arctan (x) x - \ln (1 + x^{2})$ の因数を並べ替えます。

$\frac{2 x \arctan (x) - \ln (1 + x^{2})}{1 {\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

ステップ 8.3

${\arctan (x)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x \arctan (x) - \ln (1 + x^{2})}{{\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

ステップ 8.4

${\arctan (x)}^{2}$ を ${\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 8.4.1

$1$ を掛けます。

$\frac{2 x \arctan (x) - \ln (1 + x^{2})}{{\arctan (x)}^{2} \cdot 1 + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

ステップ 8.4.2

${\arctan (x)}^{2}$ を $x^{2} {\arctan (x)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 x \arctan (x) - \ln (1 + x^{2})}{{\arctan (x)}^{2} \cdot 1 + {\arctan (x)}^{2} x^{2}}$

ステップ 8.4.3

${\arctan (x)}^{2}$ を ${\arctan (x)}^{2} \cdot 1 + {\arctan (x)}^{2} x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 x \arctan (x) - \ln (1 + x^{2})}{{\arctan (x)}^{2} (1 + x^{2})}$

微分積分 例

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