微分積分例

$f (x) = x^{2} (2 e^{x^{2}})$

ステップ 1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x^{2} (2 e^{x^{2}})$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2} (e^{x^{2}})]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} (e^{x^{2}})]$

ステップ 2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = e^{x^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$2 (x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$2 (x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$2 (x^{2} (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x^{2} (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 5

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 5.1

$x$ を移動させます。

$2 (x \cdot x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 5.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 5.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 (x^{1} x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 (x^{1 + 2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 5.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$2 (x^{3} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 6

$2$ を $e^{x^{2}}$ の左に移動させます。

$2 (x^{3} (2 \cdot e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x))$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$2 (x^{3} (2 e^{x^{2}})) + 2 (e^{x^{2}} (2 x))$

ステップ 8.2

項をまとめます。

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ステップ 8.2.1

$2$ に $2$ をかけます。

$4 (x^{3} (e^{x^{2}})) + 2 (e^{x^{2}} (2 x))$

ステップ 8.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$4 x^{3} e^{x^{2}} + 4 e^{x^{2}} x$

ステップ 8.3

項を並べ替えます。

$4 e^{x^{2}} x^{3} + 4 e^{x^{2}} x$

ステップ 8.4

$4 e^{x^{2}} x^{3} + 4 e^{x^{2}} x$ の因数を並べ替えます。

$4 x^{3} e^{x^{2}} + 4 x e^{x^{2}}$

微分積分 例

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