微分積分例

$y^{3} - 10 y + 3$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 3$

ステップ 3

$3$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $3$ は多項式の根です。

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ステップ 3.1

$3$ を多項式に代入します。

$3^{3} - 10 \cdot 3 + 3$

ステップ 3.2

$3$ を $3$ 乗します。

$27 - 10 \cdot 3 + 3$

ステップ 3.3

$- 10$ に $3$ をかけます。

$27 - 30 + 3$

ステップ 3.4

$27$ から $30$ を引きます。

$- 3 + 3$

ステップ 3.5

$- 3$ と $3$ をたし算します。

$0$

ステップ 4

$3$ は既知の根なので、多項式を $y - 3$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{y^{3} - 10 y + 3}{y - 3}$

ステップ 5

$y^{3} - 10 y + 3$ を $y - 3$ で割ります。

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ステップ 5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$y$

$3$

$y^{3}$

$0 y^{2}$

$10 y$

$3$

ステップ 5.2

被除数 $y^{3}$ の最高次項を除数 $y$ の最高次項で割ります。

					$y^{2}$
	$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$10 y$	+	$3$

ステップ 5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$y^{2}$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$10 y$	+	$3$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$

ステップ 5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $y^{3} - 3 y^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$y^{2}$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$10 y$	+	$3$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$

ステップ 5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$y^{2}$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$10 y$	+	$3$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					+	$3 y^{2}$

ステップ 5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$y^{2}$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$10 y$	+	$3$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					+	$3 y^{2}$	-	$10 y$

ステップ 5.7

被除数 $3 y^{2}$ の最高次項を除数 $y$ の最高次項で割ります。

				$y^{2}$	+	$3 y$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$10 y$	+	$3$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					+	$3 y^{2}$	-	$10 y$

ステップ 5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$y^{2}$	+	$3 y$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$10 y$	+	$3$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					+	$3 y^{2}$	-	$10 y$
					+	$3 y^{2}$	-	$9 y$

ステップ 5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $3 y^{2} - 9 y$ の符号をすべて変更します。

				$y^{2}$	+	$3 y$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$10 y$	+	$3$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					+	$3 y^{2}$	-	$10 y$
					-	$3 y^{2}$	+	$9 y$

ステップ 5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$y^{2}$	+	$3 y$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$10 y$	+	$3$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					+	$3 y^{2}$	-	$10 y$
					-	$3 y^{2}$	+	$9 y$
							-	$y$

ステップ 5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$y^{2}$	+	$3 y$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$10 y$	+	$3$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					+	$3 y^{2}$	-	$10 y$
					-	$3 y^{2}$	+	$9 y$
							-	$y$	+	$3$

ステップ 5.12

被除数 $- y$ の最高次項を除数 $y$ の最高次項で割ります。

				$y^{2}$	+	$3 y$	-	$1$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$10 y$	+	$3$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					+	$3 y^{2}$	-	$10 y$
					-	$3 y^{2}$	+	$9 y$
							-	$y$	+	$3$

ステップ 5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$y^{2}$	+	$3 y$	-	$1$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$10 y$	+	$3$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					+	$3 y^{2}$	-	$10 y$
					-	$3 y^{2}$	+	$9 y$
							-	$y$	+	$3$
							-	$y$	+	$3$

ステップ 5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- y + 3$ の符号をすべて変更します。

				$y^{2}$	+	$3 y$	-	$1$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$10 y$	+	$3$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					+	$3 y^{2}$	-	$10 y$
					-	$3 y^{2}$	+	$9 y$
							-	$y$	+	$3$
							+	$y$	-	$3$

ステップ 5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$y^{2}$	+	$3 y$	-	$1$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$10 y$	+	$3$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					+	$3 y^{2}$	-	$10 y$
					-	$3 y^{2}$	+	$9 y$
							-	$y$	+	$3$
							+	$y$	-	$3$
										$0$

ステップ 5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$y^{2} + 3 y - 1$

ステップ 6

$y^{3} - 10 y + 3$ を因数の集合として書き換えます。

$(y - 3) (y^{2} + 3 y - 1)$

微分積分 例

微分積分例