微分積分例

$3 x {(2 x + 3)}^{- 0.5}$

ステップ 1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int x {(2 x + 3)}^{- 0.5} d x$

ステップ 2

$u_{1} = 2 x + 3$ とします。次に $d u_{1} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u_{1} = 2 x + 3$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$2 x + 3$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $2 x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.1.4.1

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 2.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 2.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$3 \int (\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}) {u_{1}}^{- 0.5} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{2}$ と ${u_{1}}^{- 0.5}$ をまとめます。

$3 \int (\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}) \frac{{u_{1}}^{- 0.5}}{2} d u_{1}$

ステップ 3.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${u_{1}}^{- 0.5}$ を分母に移動させます。

$3 \int (\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2 {u_{1}}^{0.5}} d u_{1}$

ステップ 4

$u_{2} = 2 {u_{1}}^{0.5}$ とします。次に $d u_{2} = \frac{1}{{u_{1}}^{0.5}} d u_{1}$ すると、 ${u_{1}}^{0.5} d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u_{2} = 2 {u_{1}}^{0.5}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$2 {u_{1}}^{0.5}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [2 {u_{1}}^{0.5}]$

ステップ 4.1.2

$2$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $u_{1}$ に対する $2 {u_{1}}^{0.5}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{0.5}]$ です。

$2 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{0.5}]$

ステップ 4.1.3

$n = 0.5$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (0.5 {u_{1}}^{- 0.5})$

ステップ 4.1.4

掛け算します。

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ステップ 4.1.4.1

$0.5$ に $2$ をかけます。

$1 {u_{1}}^{- 0.5}$

ステップ 4.1.4.2

${u_{1}}^{- 0.5}$ に $1$ をかけます。

${u_{1}}^{- 0.5}$

ステップ 4.1.5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{{u_{1}}^{0.5}}$

ステップ 4.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$3 \int (\frac{\frac{{u_{2}}^{2}}{4}}{2} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2}}{4}}{2}$ を積として書き換えます。

$3 \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} \cdot \frac{1}{2} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 5.2

$\frac{{u_{2}}^{2}}{4}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$3 \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4 \cdot 2} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 5.3

$4$ に $2$ をかけます。

$3 \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{8} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$3 (\frac{1}{2} \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 1 \cdot 3) \frac{1}{2} d u_{2})$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$3 (\frac{1}{2} \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3) \frac{1}{2} d u_{2})$

ステップ 7.2

$\frac{1}{2}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{3}{2} \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3) \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3 d u_{2})$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{3}{2}$ をかけます。

$\frac{3}{2 \cdot 2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3 d u_{2}$

ステップ 9.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{3}{4} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3 d u_{2}$

ステップ 10

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{3}{4} (\int \frac{{u_{2}}^{2}}{4} d u_{2} + \int - 3 d u_{2})$

ステップ 11

$\frac{1}{4}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{3}{4} (\frac{1}{4} \int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int - 3 d u_{2})$

ステップ 12

べき乗則では、 ${u_{2}}^{2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ です。

$\frac{3}{4} (\frac{1}{4} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \int - 3 d u_{2})$

ステップ 13

定数の法則を当てはめます。

$\frac{3}{4} (\frac{1}{4} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) - 3 u_{2} + C)$

ステップ 14

簡約します。

$\frac{3}{4} (\frac{{u_{2}}^{3}}{12} - 3 u_{2}) + C$

ステップ 15

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 15.1

$u_{2}$ のすべての発生を $2 {u_{1}}^{0.5}$ で置き換えます。

$\frac{3}{4} (\frac{{(2 {u_{1}}^{0.5})}^{3}}{12} - 3 (2 {u_{1}}^{0.5})) + C$

ステップ 15.2

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x + 3$ で置き換えます。

$\frac{3}{4} (\frac{{(2 {(2 x + 3)}^{0.5})}^{3}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

ステップ 16

簡約します。

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ステップ 16.1

各項を簡約します。

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ステップ 16.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 16.1.1.1

積の法則を $2 {(2 x + 3)}^{0.5}$ に当てはめます。

$\frac{3}{4} (\frac{2^{3} {({(2 x + 3)}^{0.5})}^{3}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

ステップ 16.1.1.2

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{3}{4} (\frac{8 {({(2 x + 3)}^{0.5})}^{3}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

ステップ 16.1.1.3

${({(2 x + 3)}^{0.5})}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 16.1.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3}{4} (\frac{8 {(2 x + 3)}^{0.5 \cdot 3}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

ステップ 16.1.1.3.2

$0.5$ に $3$ をかけます。

$\frac{3}{4} (\frac{8 {(2 x + 3)}^{1.5}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

ステップ 16.1.2

$8$ と $12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 16.1.2.1

$4$ を $8 {(2 x + 3)}^{1.5}$ で因数分解します。

$\frac{3}{4} (\frac{4 (2 {(2 x + 3)}^{1.5})}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

ステップ 16.1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 16.1.2.2.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{3}{4} (\frac{4 (2 {(2 x + 3)}^{1.5})}{4 (3)} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

ステップ 16.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3}{4} (\frac{4 (2 {(2 x + 3)}^{1.5})}{4 \cdot 3} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

ステップ 16.1.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3}{4} (\frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5}}{3} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

ステップ 16.1.3

$2$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{3}{4} (\frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5}}{3} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

ステップ 16.2

$- 6 {(2 x + 3)}^{0.5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{3}{4} (\frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5}}{3} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

ステップ 16.3

$- 6 {(2 x + 3)}^{0.5}$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{3}{4} (\frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5}}{3} + \frac{- 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 3}{3}) + C$

ステップ 16.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 3}{3} + C$

ステップ 16.5

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 16.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 3}{3} + C$

ステップ 16.5.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{4} (2 {(2 x + 3)}^{1.5} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 3) + C$

ステップ 16.6

$3$ に $- 6$ をかけます。

$\frac{1}{4} (2 {(2 x + 3)}^{1.5} - 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

ステップ 16.7

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{4} (2 {(2 x + 3)}^{1.5}) + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

ステップ 16.8

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 16.8.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{2 (2)} (2 {(2 x + 3)}^{1.5}) + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

ステップ 16.8.2

$2$ を $2 {(2 x + 3)}^{1.5}$ で因数分解します。

$\frac{1}{2 (2)} (2 ({(2 x + 3)}^{1.5})) + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

ステップ 16.8.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 {(2 x + 3)}^{1.5}) + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

ステップ 16.8.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} {(2 x + 3)}^{1.5} + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

ステップ 16.9

$\frac{1}{2}$ と ${(2 x + 3)}^{1.5}$ をまとめます。

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

ステップ 16.10

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 16.10.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{2 (2)} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

ステップ 16.10.2

$2$ を $- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}$ で因数分解します。

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{2 (2)} (2 (- 9 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

ステップ 16.10.3

共通因数を約分します。

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (- 9 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

ステップ 16.10.4

式を書き換えます。

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{2} (- 9 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

ステップ 16.11

$- 9$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{- 9}{2} {(2 x + 3)}^{0.5} + C$

ステップ 16.12

$\frac{- 9}{2}$ と ${(2 x + 3)}^{0.5}$ をまとめます。

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{- 9 {(2 x + 3)}^{0.5}}{2} + C$

ステップ 16.13

公分母の分子をまとめます。

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5} - 9 {(2 x + 3)}^{0.5}}{2} + C$

ステップ 16.14

分子を簡約します。

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ステップ 16.14.1

${(2 x + 3)}^{0.5}$ を ${(2 x + 3)}^{1.5} - 9 {(2 x + 3)}^{0.5}$ で因数分解します。

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ステップ 16.14.1.1

${(2 x + 3)}^{0.5}$ を ${(2 x + 3)}^{1.5}$ で因数分解します。

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 3) - 9 {(2 x + 3)}^{0.5}}{2} + C$

ステップ 16.14.1.2

${(2 x + 3)}^{0.5}$ を $- 9 {(2 x + 3)}^{0.5}$ で因数分解します。

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 3) + {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot - 9}{2} + C$

ステップ 16.14.1.3

${(2 x + 3)}^{0.5}$ を ${(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 3) + {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot - 9$ で因数分解します。

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 3 - 9)}{2} + C$

ステップ 16.14.2

$3$ から $9$ を引きます。

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x - 6)}{2} + C$

ステップ 16.14.3

$2$ を $2 x - 6$ で因数分解します。

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ステップ 16.14.3.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 (x) - 6)}{2} + C$

ステップ 16.14.3.2

$2$ を $- 6$ で因数分解します。

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 2 \cdot - 3)}{2} + C$

ステップ 16.14.3.3

$2$ を $2 x + 2 \cdot - 3$ で因数分解します。

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 (x - 3))}{2} + C$

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 2 (x - 3)}{2} + C$

ステップ 16.15

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 16.15.1

共通因数を約分します。

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 2 (x - 3)}{2} + C$

ステップ 16.15.2

${(2 x + 3)}^{0.5} (x - 3)$ を $1$ で割ります。

${(2 x + 3)}^{0.5} (x - 3) + C$

ステップ 16.16

分配則を当てはめます。

${(2 x + 3)}^{0.5} x + {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot - 3 + C$

ステップ 16.17

$- 3$ を ${(2 x + 3)}^{0.5}$ の左に移動させます。

${(2 x + 3)}^{0.5} x - 3 \cdot {(2 x + 3)}^{0.5} + C$

ステップ 16.18

${(2 x + 3)}^{0.5} x - 3 {(2 x + 3)}^{0.5}$ の因数を並べ替えます。

$x {(2 x + 3)}^{0.5} - 3 {(2 x + 3)}^{0.5} + C$

微分積分 例

微分積分例