微分積分例

$\frac{2}{x^{2} + 1} \cdot (d x)$

ステップ 1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$d$ と $\frac{2}{x^{2} + 1}$ をまとめます。

$\int \frac{d \cdot 2}{x^{2} + 1} \cdot x d x$

ステップ 1.2

$\frac{d \cdot 2}{x^{2} + 1}$ と $x$ をまとめます。

$\int \frac{d \cdot 2 x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 1.3

$2$ を $d$ の左に移動させます。

$\int \frac{2 d x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2

$2 d$ は $x$ に対して定数なので、 $2 d$ を積分の外に移動させます。

$2 d \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 3

$u = x^{2} + 1$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$u = x^{2} + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$x^{2} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 3.1.2

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 3.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$2 d \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$2 d \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

ステップ 4.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$2 d \int \frac{1}{2 u} d u$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$2 d (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$d (\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 6.2

$\frac{2}{2}$ と $d$ をまとめます。

$\frac{2 d}{2} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 6.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 d}{2} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 6.3.2

$d$ を $1$ で割ります。

$d \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 7

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$d (\ln (| u |) + C)$

ステップ 8

簡約します。

$d \ln (| u |) + C$

ステップ 9

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$d \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

微分積分 例

微分積分例