微分積分例

$x (x + 9) \cdot (x + 6)$

ステップ 1

$u = x + 6$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x + 6$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x + 6$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 6]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $x + 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.1.4

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int (u - 6) (u - 6 + 9) \cdot u d u$

ステップ 2

$- 6$ と $9$ をたし算します。

$\int (u - 6) (u + 3) u d u$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\int (u (u + 3) - 6 (u + 3)) u d u$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\int (u \cdot u + u \cdot 3 - 6 (u + 3)) u d u$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$\int (u \cdot u + u \cdot 3 - 6 u - 6 \cdot 3) u d u$

ステップ 3.4

分配則を当てはめます。

$\int (u \cdot u + u \cdot 3) u + (- 6 u - 6 \cdot 3) u d u$

ステップ 3.5

分配則を当てはめます。

$\int u \cdot u \cdot u + u \cdot 3 u + (- 6 u - 6 \cdot 3) u d u$

ステップ 3.6

分配則を当てはめます。

$\int u \cdot u \cdot u + u \cdot 3 u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

ステップ 3.7

$u$ と $3$ を並べ替えます。

$\int u \cdot u \cdot u + 3 \cdot u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

ステップ 3.8

$u$ を $1$ 乗します。

$\int u^{1} u \cdot u + 3 u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

ステップ 3.9

$u$ を $1$ 乗します。

$\int u^{1} u^{1} u + 3 u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

ステップ 3.10

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int u^{1 + 1} u + 3 u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

ステップ 3.11

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int u^{2} u + 3 u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

ステップ 3.12

$u$ を $1$ 乗します。

$\int u^{2} u^{1} + 3 u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

ステップ 3.13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int u^{2 + 1} + 3 u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

ステップ 3.14

$2$ と $1$ をたし算します。

$\int u^{3} + 3 u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

ステップ 3.15

$u$ を $1$ 乗します。

$\int u^{3} + 3 (u^{1} u) - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

ステップ 3.16

$u$ を $1$ 乗します。

$\int u^{3} + 3 (u^{1} u^{1}) - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

ステップ 3.17

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int u^{3} + 3 u^{1 + 1} - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

ステップ 3.18

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int u^{3} + 3 u^{2} - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

ステップ 3.19

$u$ を $1$ 乗します。

$\int u^{3} + 3 u^{2} - 6 (u^{1} u) - 6 \cdot 3 u d u$

ステップ 3.20

$u$ を $1$ 乗します。

$\int u^{3} + 3 u^{2} - 6 (u^{1} u^{1}) - 6 \cdot 3 u d u$

ステップ 3.21

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int u^{3} + 3 u^{2} - 6 u^{1 + 1} - 6 \cdot 3 u d u$

ステップ 3.22

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int u^{3} + 3 u^{2} - 6 u^{2} - 6 \cdot 3 u d u$

ステップ 3.23

$- 6$ に $3$ をかけます。

$\int u^{3} + 3 u^{2} - 6 u^{2} - 18 u d u$

ステップ 3.24

$3 u^{2}$ から $6 u^{2}$ を引きます。

$\int u^{3} - 3 u^{2} - 18 u d u$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int u^{3} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int - 18 u d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{3}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{4} u^{4}$ です。

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 3 u^{2} d u + \int - 18 u d u$

ステップ 6

$- 3$ は $u$ に対して定数なので、 $- 3$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 \int u^{2} d u + \int - 18 u d u$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int - 18 u d u$

ステップ 8

$- 18$ は $u$ に対して定数なので、 $- 18$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) - 18 \int u d u$

ステップ 9

べき乗則では、 $u$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{2} u^{2}$ です。

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) - 18 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

簡約します。

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} - 18 (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

ステップ 10.2

簡約します。

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ステップ 10.2.1

$\frac{1}{2}$ と $u^{2}$ をまとめます。

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} - 18 \frac{u^{2}}{2} + C$

ステップ 10.2.2

$- 18$ と $\frac{u^{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{- 18 u^{2}}{2} + C$

ステップ 10.2.3

$- 18$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.3.1

$2$ を $- 18 u^{2}$ で因数分解します。

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{2 (- 9 u^{2})}{2} + C$

ステップ 10.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{2 (- 9 u^{2})}{2 (1)} + C$

ステップ 10.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{2 (- 9 u^{2})}{2 \cdot 1} + C$

ステップ 10.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{- 9 u^{2}}{1} + C$

ステップ 10.2.3.2.4

$- 9 u^{2}$ を $1$ で割ります。

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} - 9 u^{2} + C$

ステップ 11

$u$ のすべての発生を $x + 6$ で置き換えます。

$\frac{{(x + 6)}^{4}}{4} - {(x + 6)}^{3} - 9 {(x + 6)}^{2} + C$

ステップ 12

項を並べ替えます。

$\frac{1}{4} {(x + 6)}^{4} - {(x + 6)}^{3} - 9 {(x + 6)}^{2} + C$

微分積分 例

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