微分積分例

$\frac{x}{y} - x^{2} = 1$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\frac{x}{y} - x^{2}) = \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $\frac{x}{y} - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.2.4

$y$ に $1$ をかけます。

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{y - x y'}{y^{2}} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y - x y'}{y^{2}} - (2 x)$

ステップ 2.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{y - x y'}{y^{2}} - 2 x$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

項をまとめます。

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ステップ 2.4.1.1

$- 2 x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ を掛けます。

$\frac{y - x y'}{y^{2}} - 2 x \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}}$

ステップ 2.4.1.2

$- 2 x$ と $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ をまとめます。

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{- 2 x y^{2}}{y^{2}}$

ステップ 2.4.1.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{y - x y' - 2 x y^{2}}{y^{2}}$

ステップ 2.4.2

項を並べ替えます。

$\frac{- x y' - 2 y^{2} x + y}{y^{2}}$

ステップ 3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\frac{- x y' - 2 y^{2} x + y}{y^{2}} = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

分子を0に等しくします。

$- x y' - 2 y^{2} x + y = 0$

ステップ 5.2

$y'$ について方程式を解きます。

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ステップ 5.2.1

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.2.1.1

方程式の両辺に $2 y^{2} x$ を足します。

$- x y' + y = 2 y^{2} x$

ステップ 5.2.1.2

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$- x y' = 2 y^{2} x - y$

ステップ 5.2.2

$- x y' = 2 y^{2} x - y$ の各項を $- x$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$- x y' = 2 y^{2} x - y$ の各項を $- x$ で割ります。

$\frac{- x y'}{- x} = \frac{2 y^{2} x}{- x} + \frac{- y}{- x}$

ステップ 5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x y'}{x} = \frac{2 y^{2} x}{- x} + \frac{- y}{- x}$

ステップ 5.2.2.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y'}{x} = \frac{2 y^{2} x}{- x} + \frac{- y}{- x}$

ステップ 5.2.2.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{2 y^{2} x}{- x} + \frac{- y}{- x}$

ステップ 5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.2.3.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 y^{2} x}{- x} + \frac{- y}{- x}$

ステップ 5.2.2.3.1.1.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{2 y^{2}}{- 1} + \frac{- y}{- x}$

ステップ 5.2.2.3.1.1.3

$\frac{2 y^{2}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$y' = - 1 \cdot (2 y^{2}) + \frac{- y}{- x}$

ステップ 5.2.2.3.1.2

$- 1 \cdot (2 y^{2})$ を $- (2 y^{2})$ に書き換えます。

$y' = - (2 y^{2}) + \frac{- y}{- x}$

ステップ 5.2.2.3.1.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y' = - 2 y^{2} + \frac{- y}{- x}$

ステップ 5.2.2.3.1.4

2つの負の値を割ると正の値になります。

$y' = - 2 y^{2} + \frac{y}{x}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - 2 y^{2} + \frac{y}{x}$

微分積分 例

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