微分積分例

$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 1$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\frac{1}{x} - \frac{1}{y}) = \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $\frac{1}{x} - \frac{1}{y}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

ステップ 2.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{y}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- x^{- 2} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.3.2

$f (x) = 1$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$- x^{- 2} - \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- x^{- 2} - \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$- x^{- 2} - \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.3.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$- x^{- 2} - \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

ステップ 2.3.6

$y$ に $0$ をかけます。

$- x^{- 2} - \frac{0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

ステップ 2.3.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- x^{- 2} - \frac{0 - y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

ステップ 2.3.8

$0$ から $y'$ を引きます。

$- x^{- 2} - \frac{- y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

ステップ 2.3.9

分数の前に負数を移動させます。

$- x^{- 2} - - \frac{y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

ステップ 2.3.10

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- x^{- 2} + 1 \frac{y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

ステップ 2.3.11

$\frac{y'}{y^{2}}$ に $1$ をかけます。

$- x^{- 2} + \frac{y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

ステップ 2.3.12

$\frac{1}{y}$ に $0$ をかけます。

$- x^{- 2} + \frac{y'}{y^{2}} + 0$

ステップ 2.3.13

$\frac{y'}{y^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$- x^{- 2} + \frac{y'}{y^{2}}$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{y'}{y^{2}}$

ステップ 2.4.2

項を並べ替えます。

$\frac{y'}{y^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\frac{y'}{y^{2}} - \frac{1}{x^{2}} = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺に $\frac{1}{x^{2}}$ を足します。

$\frac{y'}{y^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 5.2

両辺に $y^{2}$ を掛けます。

$\frac{y'}{y^{2}} y^{2} = \frac{1}{x^{2}} y^{2}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1.1

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y'}{y^{2}} y^{2} = \frac{1}{x^{2}} y^{2}$

ステップ 5.3.1.1.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{1}{x^{2}} y^{2}$

ステップ 5.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$y' = \frac{y^{2}}{x^{2}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}}$

微分積分 例

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