微分積分例

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} = 1$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}}) = \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

ステップ 2.2.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

ステップ 2.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

ステップ 2.2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- {(x^{2})}^{- 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

ステップ 2.2.4

${(x^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- x^{2 \cdot - 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

ステップ 2.2.4.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$- x^{- 4} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

ステップ 2.2.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 x^{- 4} x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

ステップ 2.2.6

$x$ を $1$ 乗します。

$- 2 (x^{1} x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

ステップ 2.2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 2 x^{1 - 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

ステップ 2.2.8

$1$ から $4$ を引きます。

$- 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$f (x) = 1$ および $g (x) = y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}}$

ステップ 2.3.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}}$

ステップ 2.3.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $y$ とします。

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{2})}^{2}}$

ステップ 2.3.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{2})}^{2}}$

ステップ 2.3.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 y \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{2})}^{2}}$

ステップ 2.3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

ステップ 2.3.5

$y^{2}$ に $0$ をかけます。

$- 2 x^{- 3} + \frac{0 - 1 \cdot 1 (2 y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

ステップ 2.3.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 2 x^{- 3} + \frac{0 - (2 y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

ステップ 2.3.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 x^{- 3} + \frac{0 - 2 (y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

ステップ 2.3.8

$0$ から $2 y y'$ を引きます。

$- 2 x^{- 3} + \frac{- 2 y y'}{{(y^{2})}^{2}}$

ステップ 2.3.9

${(y^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.9.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 2 x^{- 3} + \frac{- 2 y y'}{y^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.3.9.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- 2 x^{- 3} + \frac{- 2 y y'}{y^{4}}$

ステップ 2.3.10

$y$ と $y^{4}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.10.1

$y$ を $- 2 y y'$ で因数分解します。

$- 2 x^{- 3} + \frac{y (- 2 y')}{y^{4}}$

ステップ 2.3.10.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.10.2.1

$y$ を $y^{4}$ で因数分解します。

$- 2 x^{- 3} + \frac{y (- 2 y')}{y \cdot y^{3}}$

ステップ 2.3.10.2.2

共通因数を約分します。

$- 2 x^{- 3} + \frac{y (- 2 y')}{y \cdot y^{3}}$

ステップ 2.3.10.2.3

式を書き換えます。

$- 2 x^{- 3} + \frac{- 2 y'}{y^{3}}$

ステップ 2.3.11

分数の前に負数を移動させます。

$- 2 x^{- 3} - \frac{2 y'}{y^{3}}$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 2 \frac{1}{x^{3}} - \frac{2 y'}{y^{3}}$

ステップ 2.4.2

項をまとめます。

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ステップ 2.4.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{x^{3}} - \frac{2 y'}{y^{3}}$

ステップ 2.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{x^{3}} - \frac{2 y'}{y^{3}}$

ステップ 3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$- \frac{2}{x^{3}} - \frac{2 y'}{y^{3}} = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺に $\frac{2}{x^{3}}$ を足します。

$- \frac{2 y'}{y^{3}} = \frac{2}{x^{3}}$

ステップ 5.2

$- \frac{2 y'}{y^{3}} = \frac{2}{x^{3}}$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- \frac{2 y'}{y^{3}} = \frac{2}{x^{3}}$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \frac{2 y'}{y^{3}}}{- 1} = \frac{\frac{2}{x^{3}}}{- 1}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\frac{2 y'}{y^{3}}}{1} = \frac{\frac{2}{x^{3}}}{- 1}$

ステップ 5.2.2.2

$\frac{2 y'}{y^{3}}$ を $1$ で割ります。

$\frac{2 y'}{y^{3}} = \frac{\frac{2}{x^{3}}}{- 1}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$\frac{\frac{2}{x^{3}}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\frac{2 y'}{y^{3}} = - 1 \cdot \frac{2}{x^{3}}$

ステップ 5.2.3.2

$- 1 \cdot \frac{2}{x^{3}}$ を $- \frac{2}{x^{3}}$ に書き換えます。

$\frac{2 y'}{y^{3}} = - \frac{2}{x^{3}}$

ステップ 5.3

両辺に $y^{3}$ を掛けます。

$\frac{2 y'}{y^{3}} y^{3} = - \frac{2}{x^{3}} y^{3}$

ステップ 5.4

簡約します。

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ステップ 5.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.1

$y^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y'}{y^{3}} y^{3} = - \frac{2}{x^{3}} y^{3}$

ステップ 5.4.1.1.2

式を書き換えます。

$2 y' = - \frac{2}{x^{3}} y^{3}$

ステップ 5.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

$- \frac{2}{x^{3}} y^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1

$y^{3}$ と $\frac{2}{x^{3}}$ をまとめます。

$2 y' = - \frac{y^{3} \cdot 2}{x^{3}}$

ステップ 5.4.2.1.2

$2$ を $y^{3}$ の左に移動させます。

$2 y' = - \frac{2 y^{3}}{x^{3}}$

ステップ 5.5

$2 y' = - \frac{2 y^{3}}{x^{3}}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.5.1

$2 y' = - \frac{2 y^{3}}{x^{3}}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 y'}{2} = \frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{3}}}{2}$

ステップ 5.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y'}{2} = \frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{3}}}{2}$

ステップ 5.5.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{3}}}{2}$

ステップ 5.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.5.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x^{3}} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 5.5.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.2.1

$- \frac{2 y^{3}}{x^{3}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y' = \frac{- 2 y^{3}}{x^{3}} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 5.5.3.2.2

$2$ を $- 2 y^{3}$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (- y^{3})}{x^{3}} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 5.5.3.2.3

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 (- y^{3})}{x^{3}} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 5.5.3.2.4

式を書き換えます。

$y' = \frac{- y^{3}}{x^{3}}$

ステップ 5.5.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y^{3}}{x^{3}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{3}}{x^{3}}$

微分積分 例

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