微分積分例

$x^{2} - 4 x y - y^{2} = 12$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x y - y^{2}) = \frac{d}{d x} (12)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{2} - 4 x y - y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

ステップ 2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x y$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x y]$ です。

$2 x - 4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 x - 4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 x - 4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

ステップ 2.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x - 4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

ステップ 2.2.5

$y$ に $1$ をかけます。

$2 x - 4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- y^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$2 x - 4 (x y' + y) - \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 2.3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$2 x - 4 (x y' + y) - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x - 4 (x y' + y) - (2 u \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.3.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$2 x - 4 (x y' + y) - (2 y \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 x - 4 (x y' + y) - (2 y y')$

ステップ 2.3.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 x - 4 (x y' + y) - 2 y y'$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$2 x - 4 (x y') - 4 y - 2 y y'$

ステップ 2.4.2

不要な括弧を削除します。

$2 x - 4 x y' - 4 y - 2 y y'$

ステップ 2.4.3

項を並べ替えます。

$- 4 x y' - 2 y y' + 2 x - 4 y$

ステップ 3

$12$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $12$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$- 4 x y' - 2 y y' + 2 x - 4 y = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.1.1

方程式の両辺から $2 x$ を引きます。

$- 4 x y' - 2 y y' - 4 y = - 2 x$

ステップ 5.1.2

方程式の両辺に $4 y$ を足します。

$- 4 x y' - 2 y y' = - 2 x + 4 y$

ステップ 5.2

$2 y'$ を $- 4 x y' - 2 y y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$2 y'$ を $- 4 x y'$ で因数分解します。

$2 y' (- 2 x) - 2 y y' = - 2 x + 4 y$

ステップ 5.2.2

$2 y'$ を $- 2 y y'$ で因数分解します。

$2 y' (- 2 x) + 2 y' (- y) = - 2 x + 4 y$

ステップ 5.2.3

$2 y'$ を $2 y' (- 2 x) + 2 y' (- y)$ で因数分解します。

$2 y' (- 2 x - y) = - 2 x + 4 y$

ステップ 5.3

$2 y' (- 2 x - y) = - 2 x + 4 y$ の各項を $2 (- 2 x - y)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$2 y' (- 2 x - y) = - 2 x + 4 y$ の各項を $2 (- 2 x - y)$ で割ります。

$\frac{2 y' (- 2 x - y)}{2 (- 2 x - y)} = \frac{- 2 x}{2 (- 2 x - y)} + \frac{4 y}{2 (- 2 x - y)}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y' (- 2 x - y)}{2 (- 2 x - y)} = \frac{- 2 x}{2 (- 2 x - y)} + \frac{4 y}{2 (- 2 x - y)}$

ステップ 5.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (- 2 x - y)}{- 2 x - y} = \frac{- 2 x}{2 (- 2 x - y)} + \frac{4 y}{2 (- 2 x - y)}$

ステップ 5.3.2.2

$- 2 x - y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (- 2 x - y)}{- 2 x - y} = \frac{- 2 x}{2 (- 2 x - y)} + \frac{4 y}{2 (- 2 x - y)}$

ステップ 5.3.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 2 x}{2 (- 2 x - y)} + \frac{4 y}{2 (- 2 x - y)}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1.1

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1.1.1

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (- 2 x - y)} + \frac{4 y}{2 (- 2 x - y)}$

ステップ 5.3.3.1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (- 2 x - y)} + \frac{4 y}{2 (- 2 x - y)}$

ステップ 5.3.3.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{- x}{- 2 x - y} + \frac{4 y}{2 (- 2 x - y)}$

ステップ 5.3.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{x}{- 2 x - y} + \frac{4 y}{2 (- 2 x - y)}$

ステップ 5.3.3.1.3

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1.3.1

$2$ を $4 y$ で因数分解します。

$y' = - \frac{x}{- 2 x - y} + \frac{2 (2 y)}{2 (- 2 x - y)}$

ステップ 5.3.3.1.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$y' = - \frac{x}{- 2 x - y} + \frac{2 (2 y)}{2 (- 2 x - y)}$

ステップ 5.3.3.1.3.2.2

式を書き換えます。

$y' = - \frac{x}{- 2 x - y} + \frac{2 y}{- 2 x - y}$

ステップ 5.3.3.2

項を簡約します。

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ステップ 5.3.3.2.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- x + 2 y}{- 2 x - y}$

ステップ 5.3.3.2.2

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (x) + 2 y}{- 2 x - y}$

ステップ 5.3.3.2.3

$- 1$ を $2 y$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (x) - (- 2 y)}{- 2 x - y}$

ステップ 5.3.3.2.4

$- 1$ を $- (x) - (- 2 y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (x - 2 y)}{- 2 x - y}$

ステップ 5.3.3.2.5

$- (x - 2 y)$ を $- 1 (x - 2 y)$ に書き換えます。

$y' = \frac{- 1 (x - 2 y)}{- 2 x - y}$

ステップ 5.3.3.2.6

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{- 1 (x - 2 y)}{- (2 x) - y}$

ステップ 5.3.3.2.7

$- 1$ を $- y$ で因数分解します。

$y' = \frac{- 1 (x - 2 y)}{- (2 x) - (y)}$

ステップ 5.3.3.2.8

$- 1$ を $- (2 x) - (y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{- 1 (x - 2 y)}{- (2 x + y)}$

ステップ 5.3.3.2.9

$- (2 x + y)$ を $- 1 (2 x + y)$ に書き換えます。

$y' = \frac{- 1 (x - 2 y)}{- 1 (2 x + y)}$

ステップ 5.3.3.2.10

共通因数を約分します。

$y' = \frac{- 1 (x - 2 y)}{- 1 (2 x + y)}$

ステップ 5.3.3.2.11

式を書き換えます。

$y' = \frac{x - 2 y}{2 x + y}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 2 y}{2 x + y}$

微分積分 例

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