微分積分例

$y = {(x + 1)}^{x + 1}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{x + 1})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

対数の性質を利用して微分を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

${(x + 1)}^{x + 1}$ を $e^{\ln ({(x + 1)}^{x + 1})}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(x + 1)}^{x + 1})}]$

ステップ 3.1.2

$x + 1$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(x + 1)}^{x + 1})$ を展開します。

$\frac{d}{d x} [e^{(x + 1) \ln (x + 1)}]$

ステップ 3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = (x + 1) \ln (x + 1)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $(x + 1) \ln (x + 1)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [(x + 1) \ln (x + 1)]$

ステップ 3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [(x + 1) \ln (x + 1)]$

ステップ 3.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $(x + 1) \ln (x + 1)$ で置き換えます。

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} \frac{d}{d x} [(x + 1) \ln (x + 1)]$

ステップ 3.3

$f (x) = x + 1$ および $g (x) = \ln (x + 1)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)] + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 3.4

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x + 1$ とします。

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 3.4.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 3.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 3.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 3.5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 3.5.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} (1 + 0) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 3.5.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} \cdot 1 + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 3.5.4.2

$x + 1$ に $1$ をかけます。

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 3.5.5

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} + \ln (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

ステップ 3.5.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} + \ln (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

ステップ 3.5.7

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} + \ln (x + 1) (1 + 0))$

ステップ 3.5.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} + \ln (x + 1) \cdot 1)$

ステップ 3.5.8.2

$\ln (x + 1)$ に $1$ をかけます。

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} + \ln (x + 1))$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) (\frac{1}{x + 1}) + \ln (x + 1))$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) (\frac{1}{x + 1}) + \ln (x + 1))$

微分積分 例

微分積分例