微分積分例

$y = (x^{2} - 3 x + 3) e^{\frac{5 x}{3}}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((x^{2} - 3 x + 3) e^{\frac{5 x}{3}})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (x) = x^{2} - 3 x + 3$ および $g (x) = e^{\frac{5 x}{3}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{d}{d x} [e^{\frac{5 x}{3}}] + e^{\frac{5 x}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]$

ステップ 3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \frac{5 x}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{5 x}{3}$ とします。

$(x^{2} - 3 x + 3) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3}]) + e^{\frac{5 x}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]$

ステップ 3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$(x^{2} - 3 x + 3) (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3}]) + e^{\frac{5 x}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{5 x}{3}$ で置き換えます。

$(x^{2} - 3 x + 3) (e^{\frac{5 x}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3}]) + e^{\frac{5 x}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]$

ステップ 3.3

微分します。

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ステップ 3.3.1

$\frac{5}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{5 x}{3}$ の微分係数は $\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(x^{2} - 3 x + 3) e^{\frac{5 x}{3}} (\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x]) + e^{\frac{5 x}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]$

ステップ 3.3.2

$\frac{5}{3}$ と $e^{\frac{5 x}{3}}$ をまとめます。

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x] + e^{\frac{5 x}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]$

ステップ 3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} \cdot 1 + e^{\frac{5 x}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]$

ステップ 3.3.4

$x^{2} - 3 x + 3$ に $1$ をかけます。

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]$

ステップ 3.3.5

総和則では、 $x^{2} - 3 x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])$

ステップ 3.3.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])$

ステップ 3.3.7

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

ステップ 3.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

ステップ 3.3.9

$- 3$ に $1$ をかけます。

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [3])$

ステップ 3.3.10

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x - 3 + 0)$

ステップ 3.3.11

$2 x - 3$ と $0$ をたし算します。

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x - 3)$

ステップ 3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} - 3 x \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x - 3)$

ステップ 3.4.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} - 3 x \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

ステップ 3.4.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

$x^{2}$ と $\frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} - 3 x \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

ステップ 3.4.3.2

$- 3$ と $\frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x \frac{- 3 (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

ステップ 3.4.3.3

$5$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x \frac{- 15 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

ステップ 3.4.3.4

$x$ と $\frac{- 15 e^{\frac{5 x}{3}}}{3}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + \frac{x (- 15 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

ステップ 3.4.3.5

$- 15$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.5.1

$3$ を $x (- 15 e^{\frac{5 x}{3}})$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + \frac{3 (x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}))}{3} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

ステップ 3.4.3.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.5.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + \frac{3 (x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}))}{3 (1)} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

ステップ 3.4.3.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + \frac{3 (x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}))}{3 \cdot 1} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

ステップ 3.4.3.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + \frac{x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}})}{1} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

ステップ 3.4.3.5.2.4

$x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}})$ を $1$ で割ります。

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}) + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

ステップ 3.4.3.6

$3$ と $\frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}) + \frac{3 (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

ステップ 3.4.3.7

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}) + \frac{15 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

ステップ 3.4.3.8

$15$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.8.1

$3$ を $15 e^{\frac{5 x}{3}}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}) + \frac{3 (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

ステップ 3.4.3.8.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.8.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}) + \frac{3 (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3 (1)} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

ステップ 3.4.3.8.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}) + \frac{3 (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3 \cdot 1} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

ステップ 3.4.3.8.2.3

式を書き換えます。

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}) + \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{1} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

ステップ 3.4.3.8.2.4

$5 e^{\frac{5 x}{3}}$ を $1$ で割ります。

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}) + 5 e^{\frac{5 x}{3}} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

ステップ 3.4.3.9

$- 3$ を $e^{\frac{5 x}{3}}$ の左に移動させます。

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}) + 5 e^{\frac{5 x}{3}} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) - 3 \cdot e^{\frac{5 x}{3}}$

ステップ 3.4.3.10

$e^{\frac{5 x}{3}}$ を移動させます。

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} - 5 \cdot x e^{\frac{5 x}{3}} + 2 x e^{\frac{5 x}{3}} + 5 e^{\frac{5 x}{3}} - 3 e^{\frac{5 x}{3}}$

ステップ 3.4.3.11

$- 5 x e^{\frac{5 x}{3}}$ と $2 x e^{\frac{5 x}{3}}$ をたし算します。

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} - 3 x e^{\frac{5 x}{3}} + 5 e^{\frac{5 x}{3}} - 3 e^{\frac{5 x}{3}}$

ステップ 3.4.3.12

$5 e^{\frac{5 x}{3}}$ から $3 e^{\frac{5 x}{3}}$ を引きます。

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} - 3 x e^{\frac{5 x}{3}} + 2 e^{\frac{5 x}{3}}$

ステップ 3.4.4

項を並べ替えます。

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} - 3 e^{\frac{5 x}{3}} x + 2 e^{\frac{5 x}{3}}$

ステップ 3.4.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.1.1

書き換えます。

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} - 3 e^{\frac{5 x}{3}} x + 2 e^{\frac{5 x}{3}}$

ステップ 3.4.5.1.2

不要な括弧を削除します。

$\frac{x^{2} \cdot 5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} - 3 e^{\frac{5 x}{3}} x + 2 e^{\frac{5 x}{3}}$

ステップ 3.4.5.2

$5$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{5 x^{2} e^{\frac{5 x}{3}}}{3} - 3 e^{\frac{5 x}{3}} x + 2 e^{\frac{5 x}{3}}$

ステップ 3.4.6

$\frac{5 x^{2} e^{\frac{5 x}{3}}}{3} - 3 e^{\frac{5 x}{3}} x + 2 e^{\frac{5 x}{3}}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{5 x^{2} e^{\frac{5 x}{3}}}{3} - 3 x e^{\frac{5 x}{3}} + 2 e^{\frac{5 x}{3}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{5 x^{2} e^{\frac{5 x}{3}}}{3} - 3 x e^{\frac{5 x}{3}} + 2 e^{\frac{5 x}{3}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x^{2} e^{\frac{5 x}{3}}}{3} - 3 x e^{\frac{5 x}{3}} + 2 e^{\frac{5 x}{3}}$

微分積分 例

微分積分例