微分積分例

$\sin (x^{2}) - \cos (y^{2}) = 5 x - 3 y$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\sin (x^{2}) - \cos (y^{2})) = \frac{d}{d x} (5 x - 3 y)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $\sin (x^{2}) - \cos (y^{2})$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- \cos (y^{2})]$ です。

$\frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- \cos (y^{2})]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \cos (y^{2})]$

ステップ 2.2.1.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \cos (y^{2})]$

ステップ 2.2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \cos (y^{2})]$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [- \cos (y^{2})]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- \cos (y^{2})]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (y^{2})$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (y^{2})]$ です。

$\cos (x^{2}) (2 x) - \frac{d}{d x} [\cos (y^{2})]$

ステップ 2.3.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $y^{2}$ とします。

$\cos (x^{2}) (2 x) - (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [y^{2}])$

ステップ 2.3.2.2

$u_{2}$ に関する $\cos (u_{2})$ の微分係数は $- \sin (u_{2})$ です。

$\cos (x^{2}) (2 x) - (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [y^{2}])$

ステップ 2.3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $y^{2}$ で置き換えます。

$\cos (x^{2}) (2 x) - (- \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [y^{2}])$

ステップ 2.3.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $y$ とします。

$\cos (x^{2}) (2 x) - (- \sin (y^{2}) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

ステップ 2.3.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ は $n {u_{3}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (x^{2}) (2 x) - (- \sin (y^{2}) (2 u_{3} \frac{d}{d x} [y]))$

ステップ 2.3.3.3

$u_{3}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$\cos (x^{2}) (2 x) - (- \sin (y^{2}) (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

ステップ 2.3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\cos (x^{2}) (2 x) - (- \sin (y^{2}) (2 y y'))$

ステップ 2.3.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\cos (x^{2}) (2 x) - (- 2 \sin (y^{2}) (y y'))$

ステップ 2.3.6

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\cos (x^{2}) (2 x) + 2 \sin (y^{2}) (y y')$

ステップ 2.4

項を並べ替えます。

$2 x \cos (x^{2}) + 2 y \sin (y^{2}) y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $5 x - 3 y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [5 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

ステップ 3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

ステップ 3.2.3

$5$ に $1$ をかけます。

$5 + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- 3 y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 y$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [y]$ です。

$5 - 3 \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$5 - 3 y'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$2 x \cos (x^{2}) + 2 y \sin (y^{2}) y' = 5 - 3 y'$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$2 x \cos (x^{2}) + 2 y \sin (y^{2}) y'$ の因数を並べ替えます。

$2 x \cos (x^{2}) + 2 y y' \sin (y^{2}) = 5 - 3 y'$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $3 y'$ を足します。

$2 x \cos (x^{2}) + 2 y y' \sin (y^{2}) + 3 y' = 5$

ステップ 5.3

方程式の両辺から $2 x \cos (x^{2})$ を引きます。

$2 y y' \sin (y^{2}) + 3 y' = 5 - 2 x \cos (x^{2})$

ステップ 5.4

$y'$ を $2 y y' \sin (y^{2}) + 3 y'$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$y'$ を $2 y y' \sin (y^{2})$ で因数分解します。

$y' (2 y \sin (y^{2})) + 3 y' = 5 - 2 x \cos (x^{2})$

ステップ 5.4.2

$y'$ を $3 y'$ で因数分解します。

$y' (2 y \sin (y^{2})) + y' \cdot 3 = 5 - 2 x \cos (x^{2})$

ステップ 5.4.3

$y'$ を $y' (2 y \sin (y^{2})) + y' \cdot 3$ で因数分解します。

$y' (2 y \sin (y^{2}) + 3) = 5 - 2 x \cos (x^{2})$

ステップ 5.5

$y' (2 y \sin (y^{2}) + 3) = 5 - 2 x \cos (x^{2})$ の各項を $2 y \sin (y^{2}) + 3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$y' (2 y \sin (y^{2}) + 3) = 5 - 2 x \cos (x^{2})$ の各項を $2 y \sin (y^{2}) + 3$ で割ります。

$\frac{y' (2 y \sin (y^{2}) + 3)}{2 y \sin (y^{2}) + 3} = \frac{5}{2 y \sin (y^{2}) + 3} + \frac{- 2 x \cos (x^{2})}{2 y \sin (y^{2}) + 3}$

ステップ 5.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1

$2 y \sin (y^{2}) + 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (2 y \sin (y^{2}) + 3)}{2 y \sin (y^{2}) + 3} = \frac{5}{2 y \sin (y^{2}) + 3} + \frac{- 2 x \cos (x^{2})}{2 y \sin (y^{2}) + 3}$

ステップ 5.5.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{5}{2 y \sin (y^{2}) + 3} + \frac{- 2 x \cos (x^{2})}{2 y \sin (y^{2}) + 3}$

ステップ 5.5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{5}{2 y \sin (y^{2}) + 3} - \frac{2 x \cos (x^{2})}{2 y \sin (y^{2}) + 3}$

ステップ 5.5.3.2

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{5 - 2 x \cos (x^{2})}{2 y \sin (y^{2}) + 3}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 - 2 x \cos (x^{2})}{2 y \sin (y^{2}) + 3}$

微分積分 例

微分積分例