微分積分例

$q = \sin (\frac{t}{\sqrt{t + 5}})$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{t + 5}$ を ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$q = \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d t} (q) = \frac{d}{d t} (\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}))$

ステップ 3

$t$ に関する $q$ の微分係数は $q'$ です。

$q'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$f (t) = \sin (t)$ および $g (t) = \frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 4.1.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 4.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ で置き換えます。

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 4.2

$f (t) = t$ および $g (t) = {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(t + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.3

${({(t + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

共通因数を約分します。

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.3.2.2

式を書き換えます。

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 5)}^{1}}$

ステップ 4.4

簡約します。

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 5}$

ステップ 4.5

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 5}$

ステップ 4.5.2

${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 5}$

ステップ 4.6

$f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ および $g (t) = t + 5$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $t + 5$ とします。

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

ステップ 4.6.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

ステップ 4.6.3

$u_{2}$ のすべての発生を $t + 5$ で置き換えます。

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

ステップ 4.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

ステップ 4.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

ステップ 4.9

公分母の分子をまとめます。

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

ステップ 4.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

ステップ 4.10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

ステップ 4.11

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.11.1

分数の前に負数を移動させます。

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

ステップ 4.11.2

$\frac{1}{2}$ と ${(t + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{{(t + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

ステップ 4.11.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(t + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

ステップ 4.11.4

$\frac{1}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ と $t$ をまとめます。

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 5]}{t + 5}$

ステップ 4.12

総和則では、 $t + 5$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [5]$ です。

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [5])}{t + 5}$

ステップ 4.13

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d t} [5])}{t + 5}$

ステップ 4.14

$5$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}{t + 5}$

ステップ 4.15

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.15.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{t + 5}$

ステップ 4.15.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

ステップ 4.16

${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

ステップ 4.17

${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

ステップ 4.18

公分母の分子をまとめます。

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

ステップ 4.19

指数を足して ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.19.1

${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} {(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

ステップ 4.19.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

ステップ 4.19.3

公分母の分子をまとめます。

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

ステップ 4.19.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

ステップ 4.19.5

$2$ を $2$ で割ります。

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{1} \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

ステップ 4.20

${(t + 5)}^{1} \cdot 2$ を簡約します。

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{(t + 5) \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

ステップ 4.21

$2$ を $t + 5$ の左に移動させます。

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{2 \cdot (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

ステップ 4.22

$\frac{\frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$ を積として書き換えます。

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (\frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{t + 5})$

ステップ 4.23

$\frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{t + 5}$ をかけます。

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}} (t + 5)}$

ステップ 4.24

$t + 5$ を $1$ 乗します。

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 ({(t + 5)}^{1} {(t + 5)}^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 4.25

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

ステップ 4.26

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.26.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

ステップ 4.26.2

公分母の分子をまとめます。

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

ステップ 4.26.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.27

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ と $\frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (2 (t + 5) - t)}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.28

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.28.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (2 t + 2 \cdot 5 - t)}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.28.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.28.2.1

$2$ に $5$ をかけます。

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (2 t + 10 - t)}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.28.2.2

$2 t$ から $t$ を引きます。

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 10)}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.28.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) t + \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 10}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.28.2.4

$10$ を $\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ の左に移動させます。

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) t + 10 \cdot \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.28.2.5

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) t + 10 \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ の因数を並べ替えます。

$\frac{t \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) + 10 \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.28.3

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ を $t \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) + 10 \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ で因数分解します。

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ステップ 4.28.3.1

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ を $t \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ で因数分解します。

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) t + 10 \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.28.3.2

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ を $10 \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ で因数分解します。

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) t + \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 10}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.28.3.3

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ を $\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) t + \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 10$ で因数分解します。

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 10)}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$q' = \frac{\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 10)}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 6

$q'$ を $\frac{d q}{d t}$ で置き換えます。

$\frac{d q}{d t} = \frac{\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 10)}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

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