微分積分例

$y = \frac{\cos (2 x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\cos (2 x)}{\sin^{2} (x)})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (x) = \cos (2 x)$ および $g (x) = \sin^{2} (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{{(\sin^{2} (x))}^{2}}$

ステップ 3.2

${(\sin^{2} (x))}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{{\sin (x)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 3.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

ステップ 3.3

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x$ とします。

$\frac{\sin^{2} (x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

ステップ 3.3.2

$u_{1}$ に関する $\cos (u_{1})$ の微分係数は $- \sin (u_{1})$ です。

$\frac{\sin^{2} (x) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

ステップ 3.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{\sin^{2} (x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

ステップ 3.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\sin^{2} (x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

ステップ 3.4.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

ステップ 3.4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x) \cdot 1) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

ステップ 3.4.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

ステップ 3.5

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\sin (x)$ とします。

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

ステップ 3.5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

ステップ 3.5.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

ステップ 3.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x)) - 2 \cos (2 x) (\sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

ステップ 3.7

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x)) - 2 \cos (2 x) \sin (x) \cos (x)}{\sin^{4} (x)}$

ステップ 3.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x) - 2 \cos (2 x) \sin (x) \cos (x)}{\sin^{4} (x)}$

ステップ 3.8.2

項を並べ替えます。

$\frac{- 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x) - 2 \cos (x) \cos (2 x) \sin (x)}{\sin^{4} (x)}$

ステップ 3.8.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.3.1

$2 \sin (x)$ を $- 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x) - 2 \cos (x) \cos (2 x) \sin (x)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.3.1.1

$2 \sin (x)$ を $- 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x)$ で因数分解します。

$\frac{2 \sin (x) (- \sin (x) \sin (2 x)) - 2 \cos (x) \cos (2 x) \sin (x)}{\sin^{4} (x)}$

ステップ 3.8.3.1.2

$2 \sin (x)$ を $- 2 \cos (x) \cos (2 x) \sin (x)$ で因数分解します。

$\frac{2 \sin (x) (- \sin (x) \sin (2 x)) + 2 \sin (x) (- \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{4} (x)}$

ステップ 3.8.3.1.3

$2 \sin (x)$ を $2 \sin (x) (- \sin (x) \sin (2 x)) + 2 \sin (x) (- \cos (x) \cos (2 x))$ で因数分解します。

$\frac{2 \sin (x) (- \sin (x) \sin (2 x) - \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{4} (x)}$

ステップ 3.8.3.2

$- 1$ を $- \sin (x) \sin (2 x) - \cos (x) \cos (2 x)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.3.2.1

$- 1$ を $- \sin (x) \sin (2 x)$ で因数分解します。

$\frac{2 \sin (x) (- (\sin (x) \sin (2 x)) - \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{4} (x)}$

ステップ 3.8.3.2.2

$- 1$ を $- \cos (x) \cos (2 x)$ で因数分解します。

$\frac{2 \sin (x) (- (\sin (x) \sin (2 x)) - (\cos (x) \cos (2 x)))}{\sin^{4} (x)}$

ステップ 3.8.3.2.3

$- 1$ を $- (\sin (x) \sin (2 x)) - (\cos (x) \cos (2 x))$ で因数分解します。

$\frac{2 \sin (x) (- (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x)))}{\sin^{4} (x)}$

$\frac{2 \sin (x) \cdot - 1 (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{4} (x)}$

ステップ 3.8.3.3

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.3.3.1

負をくくり出します。

$\frac{- (2 \sin (x) (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x)))}{\sin^{4} (x)}$

ステップ 3.8.3.3.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 2 (\sin (x) (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x)))}{\sin^{4} (x)}$

$\frac{- 2 \sin (x) (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{4} (x)}$

ステップ 3.8.4

$\sin (x)$ と $\sin^{4} (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.4.1

$\sin (x)$ を $- 2 \sin (x) (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x))$ で因数分解します。

$\frac{\sin (x) (- 2 (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x)))}{\sin^{4} (x)}$

ステップ 3.8.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.4.2.1

$\sin (x)$ を $\sin^{4} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sin (x) (- 2 (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x)))}{\sin (x) \sin^{3} (x)}$

ステップ 3.8.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\sin (x) (- 2 (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x)))}{\sin (x) \sin^{3} (x)}$

ステップ 3.8.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 2 (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

ステップ 3.8.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.5.1.1

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$\frac{- 2 (\sin (x) (2 \sin (x) \cos (x)) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

ステップ 3.8.5.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- 2 (2 \sin (x) \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

ステップ 3.8.5.1.3

$2 \sin (x) \sin (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.5.1.3.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 2 (2 (\sin^{1} (x) \sin (x)) \cos (x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

ステップ 3.8.5.1.3.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 2 (2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

ステップ 3.8.5.1.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 2 (2 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

ステップ 3.8.5.1.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 2 (2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

ステップ 3.8.5.1.4

2倍角の公式を利用して $\cos (2 x)$ を $1 - 2 \sin^{2} (x)$ に変換します。

$\frac{- 2 (2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x)))}{\sin^{3} (x)}$

ステップ 3.8.5.1.5

分配則を当てはめます。

$\frac{- 2 (2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)))}{\sin^{3} (x)}$

ステップ 3.8.5.1.6

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 2 (2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)))}{\sin^{3} (x)}$

ステップ 3.8.5.1.7

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- 2 (2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x))}{\sin^{3} (x)}$

ステップ 3.8.5.2

$2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.5.2.1

$2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ と $- 2 \cos (x) \sin^{2} (x)$ について因数を並べ替えます。

$\frac{- 2 (2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos (x))}{\sin^{3} (x)}$

ステップ 3.8.5.2.2

$2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ から $2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ を引きます。

$\frac{- 2 (0 + \cos (x))}{\sin^{3} (x)}$

ステップ 3.8.5.2.3

$0$ と $\cos (x)$ をたし算します。

$\frac{- 2 \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$

ステップ 3.8.6

$\sin (x)$ を $\sin^{3} (x)$ で因数分解します。

$\frac{- 2 \cos (x)}{\sin (x) \sin^{2} (x)}$

ステップ 3.8.7

分数を分解します。

$\frac{- 2}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 3.8.8

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を $\cot (x)$ に変換します。

$\frac{- 2}{\sin^{2} (x)} \cot (x)$

ステップ 3.8.9

$1$ を掛けます。

$\frac{- 2}{\sin^{2} (x) \cdot 1} \cot (x)$

ステップ 3.8.10

分数を分解します。

$\frac{- 2}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cot (x)$

ステップ 3.8.11

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ を $\csc^{2} (x)$ に変換します。

$\frac{- 2}{1} \csc^{2} (x) \cot (x)$

ステップ 3.8.12

$- 2$ を $1$ で割ります。

$- 2 \csc^{2} (x) \cot (x)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - 2 \csc^{2} (x) \cot (x)$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - 2 \csc^{2} (x) \cot (x)$

微分積分 例

微分積分例