微分積分例

${(x^{2} - y^{2})}^{3} = 3 a^{4} x^{2}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d a} ({(x^{2} - y^{2})}^{3}) = \frac{d}{d a} (3 a^{4} x^{2})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

二項定理を利用します。

$\frac{d}{d a} [{(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} (- y^{2}) + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

ステップ 2.2

微分します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

${(x^{2})}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d}{d a} [x^{2 \cdot 3} + 3 {(x^{2})}^{2} (- y^{2}) + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

ステップ 2.2.1.1.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{d}{d a} [x^{6} + 3 {(x^{2})}^{2} (- y^{2}) + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

ステップ 2.2.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d}{d a} [x^{6} + 3 \cdot - 1 {(x^{2})}^{2} y^{2} + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

ステップ 2.2.1.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 {(x^{2})}^{2} y^{2} + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

ステップ 2.2.1.4

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{2 \cdot 2} y^{2} + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

ステップ 2.2.1.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

ステップ 2.2.1.5

積の法則を $- y^{2}$ に当てはめます。

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} ({(- 1)}^{2} {(y^{2})}^{2}) + {(- y^{2})}^{3}]$

ステップ 2.2.1.6

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 \cdot {(- 1)}^{2} x^{2} {(y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

ステップ 2.2.1.7

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} {(y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

ステップ 2.2.1.8

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} {(y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

ステップ 2.2.1.9

${(y^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.9.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{2 \cdot 2} + {(- y^{2})}^{3}]$

ステップ 2.2.1.9.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} + {(- y^{2})}^{3}]$

ステップ 2.2.1.10

積の法則を $- y^{2}$ に当てはめます。

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} + {(- 1)}^{3} {(y^{2})}^{3}]$

ステップ 2.2.1.11

$- 1$ を $3$ 乗します。

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} - {(y^{2})}^{3}]$

ステップ 2.2.1.12

${(y^{2})}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.12.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} - y^{2 \cdot 3}]$

ステップ 2.2.1.12.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} - y^{6}]$

ステップ 2.2.2

総和則では、 $x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} - y^{6}$ の $a$ に関する積分は $\frac{d}{d a} [x^{6}] + \frac{d}{d a} [- 3 x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$ です。

$\frac{d}{d a} [x^{6}] + \frac{d}{d a} [- 3 x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

ステップ 2.2.3

$x^{6}$ は $a$ について定数なので、 $a$ について $x^{6}$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d a} [- 3 x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

ステップ 2.2.4

$0$ と $\frac{d}{d a} [- 3 x^{4} y^{2}]$ をたし算します。

$\frac{d}{d a} [- 3 x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

ステップ 2.2.5

$- 3 x^{4}$ は $a$ に対して定数なので、 $a$ に対する $- 3 x^{4} y^{2}$ の微分係数は $- 3 x^{4} \frac{d}{d a} [y^{2}]$ です。

$- 3 x^{4} \frac{d}{d a} [y^{2}] + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

ステップ 2.3

$f (a) = a^{2}$ および $g (a) = y$ のとき、 $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ は $f' (g (a)) g' (a)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $y$ とします。

$- 3 x^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 x^{4} (2 u_{1} \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

ステップ 2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$- 3 x^{4} (2 y \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

ステップ 2.4

$2$ に $- 3$ をかけます。

$- 6 x^{4} (y \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

ステップ 2.5

$\frac{d}{d a} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$- 6 x^{4} y y' + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

ステップ 2.6

$3 x^{2}$ は $a$ に対して定数なので、 $a$ に対する $3 x^{2} y^{4}$ の微分係数は $3 x^{2} \frac{d}{d a} [y^{4}]$ です。

$- 6 x^{4} y y' + 3 x^{2} \frac{d}{d a} [y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

ステップ 2.7

$f (a) = a^{4}$ および $g (a) = y$ のとき、 $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ は $f' (g (a)) g' (a)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $y$ とします。

$- 6 x^{4} y y' + 3 x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

ステップ 2.7.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 6 x^{4} y y' + 3 x^{2} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

ステップ 2.7.3

$u_{2}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$- 6 x^{4} y y' + 3 x^{2} (4 y^{3} \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

ステップ 2.8

$4$ に $3$ をかけます。

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} (y^{3} \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

ステップ 2.9

$\frac{d}{d a} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

ステップ 2.10

$- 1$ は $a$ に対して定数なので、 $a$ に対する $- y^{6}$ の微分係数は $- \frac{d}{d a} [y^{6}]$ です。

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - \frac{d}{d a} [y^{6}]$

ステップ 2.11

$f (a) = a^{6}$ および $g (a) = y$ のとき、 $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ は $f' (g (a)) g' (a)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.11.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $y$ とします。

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{6}] \frac{d}{d a} [y])$

ステップ 2.11.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ は $n {u_{3}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - (6 {u_{3}}^{5} \frac{d}{d a} [y])$

ステップ 2.11.3

$u_{3}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - (6 y^{5} \frac{d}{d a} [y])$

ステップ 2.12

$6$ に $- 1$ をかけます。

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - 6 (y^{5} \frac{d}{d a} [y])$

ステップ 2.13

$\frac{d}{d a} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - 6 y^{5} y'$

ステップ 2.14

項を並べ替えます。

$- 6 x^{4} y y' + 12 y^{3} x^{2} y' - 6 y^{5} y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$3 x^{2}$ は $a$ に対して定数なので、 $a$ に対する $3 a^{4} x^{2}$ の微分係数は $3 x^{2} \frac{d}{d a} [a^{4}]$ です。

$3 x^{2} \frac{d}{d a} [a^{4}]$

ステップ 3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ は $n a^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} (4 a^{3})$

ステップ 3.3

式を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$4$ に $3$ をかけます。

$12 x^{2} a^{3}$

ステップ 3.3.2

$12 x^{2} a^{3}$ の因数を並べ替えます。

$12 a^{3} x^{2}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$- 6 x^{4} y y' + 12 y^{3} x^{2} y' - 6 y^{5} y' = 12 a^{3} x^{2}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d a}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d a} = 12 a^{3} x^{2}$

微分積分 例

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