微分積分例

$\sqrt{y} = 2 x^{4} y + \frac{5}{x^{2}}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y^{\frac{1}{2}} = 2 x^{4} y + \frac{5}{x^{2}}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (2 x^{4} y + \frac{5}{x^{2}})$

ステップ 3

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.1.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.5.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.7

$\frac{1}{2}$ と $y^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.8

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $y^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.9

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} y'$

ステップ 3.10

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ と $y'$ をまとめます。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

総和則では、 $2 x^{4} y + \frac{5}{x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{4} y] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{4} y] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$

ステップ 4.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{4} y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{4} y$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{4} y]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$

ステップ 4.2.2

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 (x^{4} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$

ステップ 4.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 (x^{4} y' + y \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$

ステップ 4.2.4

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x^{4} y' + y (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$

ステップ 4.2.5

$4$ を $y$ の左に移動させます。

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$

ステップ 4.3

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{5}{x^{2}}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ です。

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

ステップ 4.3.2

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

ステップ 4.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.3.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

ステップ 4.3.5

${(x^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

ステップ 4.3.5.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- x^{- 4} (2 x))$

ステップ 4.3.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- 2 x^{- 4} x)$

ステップ 4.3.7

$x$ を $1$ 乗します。

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

ステップ 4.3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- 2 x^{1 - 4})$

ステップ 4.3.9

$1$ から $4$ を引きます。

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- 2 x^{- 3})$

ステップ 4.3.10

$- 2$ に $5$ をかけます。

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) - 10 x^{- 3}$

ステップ 4.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) - 10 \frac{1}{x^{3}}$

ステップ 4.4.2

分配則を当てはめます。

$2 (x^{4} y') + 2 (4 y x^{3}) - 10 \frac{1}{x^{3}}$

ステップ 4.4.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.3.1

$4$ に $2$ をかけます。

$2 x^{4} y' + 8 (y x^{3}) - 10 \frac{1}{x^{3}}$

ステップ 4.4.3.2

$- 10$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$2 x^{4} y' + 8 y x^{3} + \frac{- 10}{x^{3}}$

ステップ 4.4.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$2 x^{4} y' + 8 y x^{3} - \frac{10}{x^{3}}$

ステップ 4.4.4

項を並べ替えます。

$2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}$

ステップ 6

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

両辺に $2 y^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}}) = (2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}) (2 y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}) (2 y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}) (2 y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}) (2 y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.1.1.3

$y^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}) (2 y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.1.1.3.2

式を書き換えます。

$y' = (2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}) (2 y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$(2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}) (2 y^{\frac{1}{2}})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y' = 2 x^{4} y' (2 y^{\frac{1}{2}}) + 8 x^{3} y (2 y^{\frac{1}{2}}) - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.2.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.2.1

$2$ に $2$ をかけます。

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y (2 y^{\frac{1}{2}}) - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.2.1.2.2

指数を足して $y$ に $y^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.2.2.1

$y^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} (y^{\frac{1}{2}} y) \cdot 2 - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.2.1.2.2.2

$y^{\frac{1}{2}}$ に $y$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.2.2.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} (y^{\frac{1}{2}} y^{1}) \cdot 2 - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.2.1.2.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{1}{2} + 1} \cdot 2 - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.2.1.2.2.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot 2 - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.2.1.2.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{1 + 2}{2}} \cdot 2 - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.2.1.2.2.5

$1$ と $2$ をたし算します。

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.2.1.2.3

$- \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.2.3.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - 2 \frac{10}{x^{3}} y^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.2.2.1.2.3.2

$- 2$ と $\frac{10}{x^{3}}$ をまとめます。

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + \frac{- 2 \cdot 10}{x^{3}} y^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.2.2.1.2.3.3

$- 2$ に $10$ をかけます。

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + \frac{- 20}{x^{3}} y^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.2.2.1.2.3.4

$\frac{- 20}{x^{3}}$ と $y^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + \frac{- 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

ステップ 6.2.2.1.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.3.1

$2$ に $8$ をかけます。

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} + \frac{- 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

ステップ 6.2.2.1.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

ステップ 6.2.2.1.4

$x^{4}$ を移動させます。

$y' = 4 y' x^{4} y^{\frac{1}{2}} + 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

ステップ 6.3

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

方程式の両辺から $4 y' x^{4} y^{\frac{1}{2}}$ を引きます。

$y' - 4 y' x^{4} y^{\frac{1}{2}} = 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

ステップ 6.3.2

各項にある共通因数 $y^{\frac{1}{2}}$ を求めます。

${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 {(y' x y^{\frac{1}{2}})}^{9} - 16 {(x y^{\frac{1}{2}})}^{9} + \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

ステップ 6.3.3

$u$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に代入します。

${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 {(y' x u)}^{9} - 16 {(x (u))}^{9} + \frac{20 (u)}{x^{3}} = 0$

ステップ 6.3.4

$y'$ を $u$ に代入します。

${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 {(y' x y^{\frac{1}{2}})}^{9} - 16 {(x (y^{\frac{1}{2}}))}^{9} + \frac{20 (y^{\frac{1}{2}})}{x^{3}} = 0$

ステップ 6.3.5

$y'$ を $y' - 4 y' x^{4} y^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.5.1

$y'$ を $1$ 乗します。

$y' - 4 y' x^{4} y^{\frac{1}{2}} = 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

ステップ 6.3.5.2

$y'$ を ${y'}^{1}$ で因数分解します。

$y' \cdot 1 - 4 y' x^{4} y^{\frac{1}{2}} = 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

ステップ 6.3.5.3

$y'$ を $- 4 y' x^{4} y^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$y' \cdot 1 + y' (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}) = 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

ステップ 6.3.5.4

$y'$ を $y' \cdot 1 + y' (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

$y' (1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}) = 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

ステップ 6.3.6

$y' (1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}) = 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$ の各項を $1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.6.1

$y' (1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}) = 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$ の各項を $1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}$ で割ります。

$\frac{y' (1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}} = \frac{16 x^{3} y^{\frac{3}{2}}}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.3.6.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.6.2.1

共通因数を約分します。

ステップ 6.3.6.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{16 x^{3} y^{\frac{3}{2}}}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.3.6.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.6.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.3.6.3.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x^{3}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.6.3.2.1

$\frac{16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ をかけます。

$y' = \frac{x^{3}}{x^{3}} \cdot \frac{16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.3.6.3.2.2

まとめる。

$y' = \frac{x^{3} (16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}})}{x^{3} (1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 6.3.6.3.3

分配則を当てはめます。

$y' = \frac{x^{3} (16 x^{3} y^{\frac{3}{2}}) + x^{3} (- \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}})}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 6.3.6.3.4

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.6.3.4.1

$- \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y' = \frac{x^{3} (16 x^{3} y^{\frac{3}{2}}) + x^{3} \frac{- 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 6.3.6.3.4.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{x^{3} (16 x^{3} y^{\frac{3}{2}}) + x^{3} \frac{- 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 6.3.6.3.4.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{x^{3} (16 x^{3} y^{\frac{3}{2}}) - 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 6.3.6.3.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.6.3.5.1

$4 y^{\frac{1}{2}}$ を $x^{3} (16 x^{3} y^{\frac{3}{2}}) - 20 y^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.6.3.5.1.1

式を並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.6.3.5.1.1.1

括弧を移動させます。

$y' = \frac{x^{3} (16 x^{3}) y^{\frac{3}{2}} - 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 6.3.6.3.5.1.1.2

$x^{3}$ と $16$ を並べ替えます。

$y' = \frac{16 \cdot x^{3} x^{3} y^{\frac{3}{2}} - 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 6.3.6.3.5.1.2

$4 y^{\frac{1}{2}}$ を $16 \cdot x^{3} x^{3} y^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 \cdot x^{3} x^{3} y^{\frac{2}{2}}) - 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 6.3.6.3.5.1.3

$4 y^{\frac{1}{2}}$ を $- 20 y^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 \cdot x^{3} x^{3} y^{\frac{2}{2}}) + 4 y^{\frac{1}{2}} (- 5)}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 6.3.6.3.5.1.4

$4 y^{\frac{1}{2}}$ を $4 y^{\frac{1}{2}} (4 \cdot x^{3} x^{3} y^{\frac{2}{2}}) + 4 y^{\frac{1}{2}} (- 5)$ で因数分解します。

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 \cdot x^{3} x^{3} y^{\frac{2}{2}} - 5)}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 6.3.6.3.5.2

指数を足して $x^{3}$ に $x^{3}$ を掛けます。

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ステップ 6.3.6.3.5.2.1

$x^{3}$ を移動させます。

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 \cdot (x^{3} x^{3}) y^{\frac{2}{2}} - 5)}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 6.3.6.3.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 \cdot x^{3 + 3} y^{\frac{2}{2}} - 5)}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 6.3.6.3.5.2.3

$3$ と $3$ をたし算します。

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 \cdot x^{6} y^{\frac{2}{2}} - 5)}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 6.3.6.3.5.3

各項を簡約します。

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ステップ 6.3.6.3.5.3.1

$2$ を $2$ で割ります。

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 x^{6} y^{1} - 5)}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 6.3.6.3.5.3.2

簡約します。

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 x^{6} y - 5)}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 6.3.6.3.6

$x^{3}$ を $x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.6.3.6.1

$x^{3}$ を $x^{3} \cdot 1$ で因数分解します。

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 x^{6} y - 5)}{x^{3} (1) + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 6.3.6.3.6.2

$x^{3}$ を $x^{3} (1) + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 x^{6} y - 5)}{x^{3} (1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 7

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 x^{6} y - 5)}{x^{3} (1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

微分積分 例

微分積分例