微分積分例

$6 + 3 x = \sin (x y^{4})$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (6 + 3 x) = \frac{d}{d x} (\sin (x y^{4}))$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $6 + 3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [3 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 2.1.2

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 + 3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 3 \cdot 1$

ステップ 2.2.3

$3$ に $1$ をかけます。

$0 + 3$

ステップ 2.3

$0$ と $3$ をたし算します。

$3$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = x y^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x y^{4}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x y^{4}]$

ステップ 3.1.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x y^{4}]$

ステップ 3.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x y^{4}$ で置き換えます。

$\cos (x y^{4}) \frac{d}{d x} [x y^{4}]$

ステップ 3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\cos (x y^{4}) (x \frac{d}{d x} [y^{4}] + y^{4} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $y$ とします。

$\cos (x y^{4}) (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (x y^{4}) (x (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$\cos (x y^{4}) (x (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.4

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$\cos (x y^{4}) (4 \cdot x y^{3} \frac{d}{d x} [y] + y^{4} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.5

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\cos (x y^{4}) (4 x y^{3} y' + y^{4} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (x y^{4}) (4 x y^{3} y' + y^{4} \cdot 1)$

ステップ 3.7

$y^{4}$ に $1$ をかけます。

$\cos (x y^{4}) (4 x y^{3} y' + y^{4})$

ステップ 3.8

簡約します。

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ステップ 3.8.1

分配則を当てはめます。

$\cos (x y^{4}) (4 x y^{3} y') + \cos (x y^{4}) y^{4}$

ステップ 3.8.2

項を並べ替えます。

$4 y^{3} x \cos (x y^{4}) y' + y^{4} \cos (x y^{4})$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$3 = 4 y^{3} x \cos (x y^{4}) y' + y^{4} \cos (x y^{4})$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $4 y^{3} x \cos (x y^{4}) y' + y^{4} \cos (x y^{4}) = 3$ として書き換えます。

$4 y^{3} x \cos (x y^{4}) y' + y^{4} \cos (x y^{4}) = 3$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$4 y^{3} x \cos (x y^{4}) y' + y^{4} \cos (x y^{4})$ の因数を並べ替えます。

$4 y^{3} x y' \cos (x y^{4}) + y^{4} \cos (x y^{4}) = 3$

ステップ 5.3

方程式の両辺から $y^{4} \cos (x y^{4})$ を引きます。

$4 y^{3} x y' \cos (x y^{4}) = 3 - y^{4} \cos (x y^{4})$

ステップ 5.4

$4 y^{3} x y' \cos (x y^{4}) = 3 - y^{4} \cos (x y^{4})$ の各項を $4 y^{3} x \cos (x y^{4})$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

$4 y^{3} x y' \cos (x y^{4}) = 3 - y^{4} \cos (x y^{4})$ の各項を $4 y^{3} x \cos (x y^{4})$ で割ります。

$\frac{4 y^{3} x y' \cos (x y^{4})}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})} = \frac{3}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})} + \frac{- y^{4} \cos (x y^{4})}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 y^{3} x y' \cos (x y^{4})}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})} = \frac{3}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})} + \frac{- y^{4} \cos (x y^{4})}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})}$

ステップ 5.4.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y^{3} x y' \cos (x y^{4})}{y^{3} x \cos (x y^{4})} = \frac{3}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})} + \frac{- y^{4} \cos (x y^{4})}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})}$

ステップ 5.4.2.2

$y^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y^{3} x y' \cos (x y^{4})}{y^{3} x \cos (x y^{4})} = \frac{3}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})} + \frac{- y^{4} \cos (x y^{4})}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})}$

ステップ 5.4.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{x y' \cos (x y^{4})}{x \cos (x y^{4})} = \frac{3}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})} + \frac{- y^{4} \cos (x y^{4})}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})}$

ステップ 5.4.2.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y' \cos (x y^{4})}{x \cos (x y^{4})} = \frac{3}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})} + \frac{- y^{4} \cos (x y^{4})}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})}$

ステップ 5.4.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{y' \cos (x y^{4})}{\cos (x y^{4})} = \frac{3}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})} + \frac{- y^{4} \cos (x y^{4})}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})}$

ステップ 5.4.2.4

$\cos (x y^{4})$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' \cos (x y^{4})}{\cos (x y^{4})} = \frac{3}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})} + \frac{- y^{4} \cos (x y^{4})}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})}$

ステップ 5.4.2.4.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{3}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})} + \frac{- y^{4} \cos (x y^{4})}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})}$

ステップ 5.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1.1

分数を分解します。

$y' = \frac{3}{4 y^{3} x} \cdot \frac{1}{\cos (x y^{4})} + \frac{- y^{4} \cos (x y^{4})}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})}$

ステップ 5.4.3.1.2

$\frac{1}{\cos (x y^{4})}$ を $\sec (x y^{4})$ に変換します。

$y' = \frac{3}{4 y^{3} x} \sec (x y^{4}) + \frac{- y^{4} \cos (x y^{4})}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})}$

ステップ 5.4.3.1.3

$\frac{3}{4 y^{3} x}$ と $\sec (x y^{4})$ をまとめます。

$y' = \frac{3 \sec (x y^{4})}{4 y^{3} x} + \frac{- y^{4} \cos (x y^{4})}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})}$

ステップ 5.4.3.1.4

$y^{4}$ と $y^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.3.1.4.1

$y^{3}$ を $- y^{4} \cos (x y^{4})$ で因数分解します。

$y' = \frac{3 \sec (x y^{4})}{4 y^{3} x} + \frac{y^{3} (- y \cos (x y^{4}))}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})}$

ステップ 5.4.3.1.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.3.1.4.2.1

$y^{3}$ を $4 y^{3} x \cos (x y^{4})$ で因数分解します。

$y' = \frac{3 \sec (x y^{4})}{4 y^{3} x} + \frac{y^{3} (- y \cos (x y^{4}))}{y^{3} (4 x \cos (x y^{4}))}$

ステップ 5.4.3.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{3 \sec (x y^{4})}{4 y^{3} x} + \frac{y^{3} (- y \cos (x y^{4}))}{y^{3} (4 x \cos (x y^{4}))}$

ステップ 5.4.3.1.4.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{3 \sec (x y^{4})}{4 y^{3} x} + \frac{- y \cos (x y^{4})}{4 x \cos (x y^{4})}$

ステップ 5.4.3.1.5

$\cos (x y^{4})$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.3.1.5.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{3 \sec (x y^{4})}{4 y^{3} x} + \frac{- y \cos (x y^{4})}{4 x \cos (x y^{4})}$

ステップ 5.4.3.1.5.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{3 \sec (x y^{4})}{4 y^{3} x} + \frac{- y}{4 x}$

ステップ 5.4.3.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{3 \sec (x y^{4})}{4 y^{3} x} - \frac{y}{4 x}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 \sec (x y^{4})}{4 y^{3} x} - \frac{y}{4 x}$

微分積分 例

微分積分例