微分積分例

$\frac{y}{y - x} = x^{2} - 1$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\frac{y}{y - x}) = \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = y$ および $g (x) = y - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(y - x) \frac{d}{d x} [y] - y \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{(y - x) y' - y \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.3

総和則では、 $y - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{(y - x) y' - y (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{(y - x) y' - y (y' + \frac{d}{d x} [- x])}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(y - x) y' - y (y' - \frac{d}{d x} [x])}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(y - x) y' - y (y' - 1 \cdot 1)}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{(y - x) y' - y (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{y y' - x y' - y (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.8.2

分配則を当てはめます。

$\frac{y y' - x y' - y y' - y \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.8.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.3.1

$y y' - x y' - y y' - y \cdot - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.3.1.1

$y y'$ から $y y'$ を引きます。

$\frac{- x y' + 0 - y \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.8.3.1.2

$- x y'$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- x y' - y \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.8.3.2

$- y \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.3.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- x y' + 1 y}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.8.3.2.2

$y$ に $1$ をかけます。

$\frac{- x y' + y}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.8.4

項を並べ替えます。

$\frac{- x y' + y}{{(- x + y)}^{2}}$

ステップ 2.8.5

$- 1$ を $- x y'$ で因数分解します。

$\frac{- (x y') + y}{{(- x + y)}^{2}}$

ステップ 2.8.6

$- 1$ を $y$ で因数分解します。

$\frac{- (x y') - 1 (- y)}{{(- x + y)}^{2}}$

ステップ 2.8.7

$- 1$ を $- (x y') - 1 (- y)$ で因数分解します。

$\frac{- (x y' - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

ステップ 2.8.8

$- (x y' - y)$ を $- 1 (x y' - y)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x y' - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

ステップ 2.8.9

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}}$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 3.4

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = 2 x$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = 2 x$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = 2 x$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}}}{- 1} = \frac{2 x}{- 1}$

ステップ 5.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}}}{1} = \frac{2 x}{- 1}$

ステップ 5.1.2.2

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}}$ を $1$ で割ります。

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = \frac{2 x}{- 1}$

ステップ 5.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

$\frac{2 x}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = - 1 \cdot (2 x)$

ステップ 5.1.3.2

$- 1 \cdot (2 x)$ を $- (2 x)$ に書き換えます。

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = - (2 x)$

ステップ 5.1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = - 2 x$

ステップ 5.2

両辺に ${(- x + y)}^{2}$ を掛けます。

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} {(- x + y)}^{2} = - 2 x {(- x + y)}^{2}$

ステップ 5.3

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} {(- x + y)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

${(- x + y)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} {(- x + y)}^{2} = - 2 x {(- x + y)}^{2}$

ステップ 5.3.1.1.2

式を書き換えます。

$x y' - y = - 2 x {(- x + y)}^{2}$

ステップ 5.3.1.2

$x$ と $y'$ を並べ替えます。

$y' x - y = - 2 x {(- x + y)}^{2}$

ステップ 5.4

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$- 2 x {(- x + y)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.1

書き換えます。

$y' x - y = 0 + 0 - 2 x {(- x + y)}^{2}$

ステップ 5.4.1.2

${(- x + y)}^{2}$ を $(- x + y) (- x + y)$ に書き換えます。

$y' x - y = - 2 x ((- x + y) (- x + y))$

ステップ 5.4.1.3

分配法則（FOIL法）を使って $(- x + y) (- x + y)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.3.1

分配則を当てはめます。

$y' x - y = - 2 x (- x (- x + y) + y (- x + y))$

ステップ 5.4.1.3.2

分配則を当てはめます。

$y' x - y = - 2 x (- x (- x) - x y + y (- x + y))$

ステップ 5.4.1.3.3

分配則を当てはめます。

$y' x - y = - 2 x (- x (- x) - x y + y (- x) + y \cdot y)$

ステップ 5.4.1.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.4.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$y' x - y = - 2 x (- 1 \cdot - 1 x \cdot x - x y + y (- x) + y \cdot y)$

ステップ 5.4.1.4.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.4.1.2.1

$x$ を移動させます。

$y' x - y = - 2 x (- 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x y + y (- x) + y \cdot y)$

ステップ 5.4.1.4.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y' x - y = - 2 x (- 1 \cdot - 1 x^{2} - x y + y (- x) + y \cdot y)$

ステップ 5.4.1.4.1.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y' x - y = - 2 x (1 x^{2} - x y + y (- x) + y \cdot y)$

ステップ 5.4.1.4.1.4

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - x y + y (- x) + y \cdot y)$

ステップ 5.4.1.4.1.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - x y - y x + y \cdot y)$

ステップ 5.4.1.4.1.6

$y$ に $y$ をかけます。

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - x y - y x + y^{2})$

ステップ 5.4.1.4.2

$- x y$ から $y x$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.4.2.1

$y$ を移動させます。

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - x y - x y + y^{2})$

ステップ 5.4.1.4.2.2

$- x y$ から $x y$ を引きます。

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - 2 x y + y^{2})$

ステップ 5.4.1.5

分配則を当てはめます。

$y' x - y = - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

ステップ 5.4.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.6.1

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.6.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$y' x - y = - 2 (x^{2} x) - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

ステップ 5.4.1.6.1.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.6.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y' x - y = - 2 (x^{2} x^{1}) - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

ステップ 5.4.1.6.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y' x - y = - 2 x^{2 + 1} - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

ステップ 5.4.1.6.1.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$y' x - y = - 2 x^{3} - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

ステップ 5.4.1.6.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.6.2.1

$x$ を移動させます。

$y' x - y = - 2 x^{3} - 2 (x \cdot x) (- 2 y) - 2 x y^{2}$

ステップ 5.4.1.6.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y' x - y = - 2 x^{3} - 2 x^{2} (- 2 y) - 2 x y^{2}$

ステップ 5.4.1.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.7.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$y' x - y = - 2 x^{3} - 2 \cdot - 2 x^{2} y - 2 x y^{2}$

ステップ 5.4.1.7.2

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$y' x - y = - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

ステップ 5.4.2

方程式の両辺に $y$ を足します。

$y' x = - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2} + y$

ステップ 5.4.3

$y' x = - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2} + y$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1

$y' x = - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2} + y$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{y' x}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

ステップ 5.4.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' x}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

ステップ 5.4.3.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 2 x^{3}}{x} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

ステップ 5.4.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.3.1.1

$x^{3}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.3.1.1.1

$x$ を $- 2 x^{3}$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (- 2 x^{2})}{x} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

ステップ 5.4.3.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.3.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y' = \frac{x (- 2 x^{2})}{x^{1}} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

ステップ 5.4.3.3.1.1.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (- 2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

ステップ 5.4.3.3.1.1.2.3

共通因数を約分します。

$y' = \frac{x (- 2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

ステップ 5.4.3.3.1.1.2.4

式を書き換えます。

$y' = \frac{- 2 x^{2}}{1} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

ステップ 5.4.3.3.1.1.2.5

$- 2 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$y' = - 2 x^{2} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

ステップ 5.4.3.3.1.2

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.3.1.2.1

$x$ を $4 x^{2} y$ で因数分解します。

$y' = - 2 x^{2} + \frac{x (4 x y)}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

ステップ 5.4.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.3.1.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y' = - 2 x^{2} + \frac{x (4 x y)}{x^{1}} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

ステップ 5.4.3.3.1.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$y' = - 2 x^{2} + \frac{x (4 x y)}{x \cdot 1} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

ステップ 5.4.3.3.1.2.2.3

共通因数を約分します。

$y' = - 2 x^{2} + \frac{x (4 x y)}{x \cdot 1} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

ステップ 5.4.3.3.1.2.2.4

式を書き換えます。

$y' = - 2 x^{2} + \frac{4 x y}{1} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

ステップ 5.4.3.3.1.2.2.5

$4 x y$ を $1$ で割ります。

$y' = - 2 x^{2} + 4 x y + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

ステップ 5.4.3.3.1.3

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.3.1.3.1

共通因数を約分します。

$y' = - 2 x^{2} + 4 x y + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

ステップ 5.4.3.3.1.3.2

$- 2 y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y' = - 2 x^{2} + 4 x y - 2 y^{2} + \frac{y}{x}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - 2 x^{2} + 4 x y - 2 y^{2} + \frac{y}{x}$

微分積分 例

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