微分積分例

$\frac{x + 3}{y} = 4 x + y^{2}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\frac{x + 3}{y}) = \frac{d}{d x} (4 x + y^{2})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = x + 3$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{y \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 2.2.3

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{y (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 2.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{y \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 2.2.4.2

$y$ に $1$ をかけます。

$\frac{y - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{y - (x + 3) y'}{y^{2}}$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{y + (- x - 1 \cdot 3) y'}{y^{2}}$

ステップ 2.4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{y - x y' - 1 \cdot 3 y'}{y^{2}}$

ステップ 2.4.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{y - x y' - 3 y'}{y^{2}}$

ステップ 2.4.4

項を並べ替えます。

$\frac{- x y' + y - 3 y'}{y^{2}}$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $4 x + y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 3.2.3

$4$ に $1$ をかけます。

$4 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$4 + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.3.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.3.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$4 + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$4 + 2 y y'$

ステップ 3.4

項を並べ替えます。

$2 y y' + 4$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\frac{- x y' + y - 3 y'}{y^{2}} = 2 y y' + 4$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

両辺に $y^{2}$ を掛けます。

$\frac{- x y' + y - 3 y'}{y^{2}} y^{2} = (2 y y' + 4) y^{2}$

ステップ 5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$\frac{- x y' + y - 3 y'}{y^{2}} y^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- x y' + y - 3 y'}{y^{2}} y^{2} = (2 y y' + 4) y^{2}$

ステップ 5.2.1.1.1.2

式を書き換えます。

$- x y' + y - 3 y' = (2 y y' + 4) y^{2}$

ステップ 5.2.1.1.2

並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.2.1

$x$ を移動させます。

$- 1 y' x + y - 3 y' = (2 y y' + 4) y^{2}$

ステップ 5.2.1.1.2.2

$y$ を移動させます。

$- 1 y' x - 3 y' + y = (2 y y' + 4) y^{2}$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$(2 y y' + 4) y^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 y y' y^{2} + 4 y^{2}$

ステップ 5.2.2.1.2

指数を足して $y$ に $y^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.2.1

$y^{2}$ を移動させます。

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 (y^{2} y) y' + 4 y^{2}$

ステップ 5.2.2.1.2.2

$y^{2}$ に $y$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.2.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 (y^{2} y^{1}) y' + 4 y^{2}$

ステップ 5.2.2.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 y^{2 + 1} y' + 4 y^{2}$

ステップ 5.2.2.1.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 y^{3} y' + 4 y^{2}$

ステップ 5.2.2.1.3

$y^{3}$ を移動させます。

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 y' y^{3} + 4 y^{2}$

ステップ 5.3

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$- 1 y'$ を $- y'$ に書き換えます。

$- y' x - 3 y' + y = 2 y' y^{3} + 4 y^{2}$

ステップ 5.3.2

方程式の両辺から $2 y' y^{3}$ を引きます。

$- y' x - 3 y' + y - 2 y' y^{3} = 4 y^{2}$

ステップ 5.3.3

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$- y' x - 3 y' - 2 y' y^{3} = 4 y^{2} - y$

ステップ 5.3.4

$y'$ を $- y' x - 3 y' - 2 y' y^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.4.1

$y'$ を $- y' x$ で因数分解します。

$y' (- 1 x) - 3 y' - 2 y' y^{3} = 4 y^{2} - y$

ステップ 5.3.4.2

$y'$ を $- 3 y'$ で因数分解します。

$y' (- 1 x) + y' \cdot - 3 - 2 y' y^{3} = 4 y^{2} - y$

ステップ 5.3.4.3

$y'$ を $- 2 y' y^{3}$ で因数分解します。

$y' (- 1 x) + y' \cdot - 3 + y' (- 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$

ステップ 5.3.4.4

$y'$ を $y' (- 1 x) + y' \cdot - 3$ で因数分解します。

$y' (- 1 x - 3) + y' (- 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$

ステップ 5.3.4.5

$y'$ を $y' (- 1 x - 3) + y' (- 2 y^{3})$ で因数分解します。

$y' (- 1 x - 3 - 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$

ステップ 5.3.5

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$y' (- x - 3 - 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$

ステップ 5.3.6

$y' (- x - 3 - 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$ の各項を $- x - 3 - 2 y^{3}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.1

$y' (- x - 3 - 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$ の各項を $- x - 3 - 2 y^{3}$ で割ります。

$\frac{y' (- x - 3 - 2 y^{3})}{- x - 3 - 2 y^{3}} = \frac{4 y^{2}}{- x - 3 - 2 y^{3}} + \frac{- y}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

ステップ 5.3.6.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.2.1

$- x - 3 - 2 y^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (- x - 3 - 2 y^{3})}{- x - 3 - 2 y^{3}} = \frac{4 y^{2}}{- x - 3 - 2 y^{3}} + \frac{- y}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

ステップ 5.3.6.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{4 y^{2}}{- x - 3 - 2 y^{3}} + \frac{- y}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

ステップ 5.3.6.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{4 y^{2} - y}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

ステップ 5.3.6.3.2

$y$ を $4 y^{2} - y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.3.2.1

$y$ を $4 y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (4 y) - y}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

ステップ 5.3.6.3.2.2

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (4 y) + y \cdot - 1}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

ステップ 5.3.6.3.2.3

$y$ を $y (4 y) + y \cdot - 1$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

ステップ 5.3.6.3.3

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- (x) - 3 - 2 y^{3}}$

ステップ 5.3.6.3.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- (x) - 1 (3) - 2 y^{3}}$

ステップ 5.3.6.3.5

$- 1$ を $- (x) - 1 (3)$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- (x + 3) - 2 y^{3}}$

ステップ 5.3.6.3.6

$- 1$ を $- 2 y^{3}$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- (x + 3) - (2 y^{3})}$

ステップ 5.3.6.3.7

$- 1$ を $- (x + 3) - (2 y^{3})$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- (x + 3 + 2 y^{3})}$

ステップ 5.3.6.3.8

負の数を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.3.8.1

$- (x + 3 + 2 y^{3})$ を $- 1 (x + 3 + 2 y^{3})$ に書き換えます。

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- 1 (x + 3 + 2 y^{3})}$

ステップ 5.3.6.3.8.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y (4 y - 1)}{x + 3 + 2 y^{3}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (4 y - 1)}{x + 3 + 2 y^{3}}$

微分積分 例

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