微分積分例

$x^{2} - y^{3} = 5 x^{2} y - 2 x y^{3}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{2} - y^{3}) = \frac{d}{d x} (5 x^{2} y - 2 x y^{3})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{2} - y^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

ステップ 2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- y^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ です。

$2 x - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$2 x - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.2.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$2 x - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 x - (3 y^{2} y')$

ステップ 2.2.4

$3$ に $- 1$ をかけます。

$2 x - 3 y^{2} y'$

ステップ 2.3

項を並べ替えます。

$- 3 y^{2} y' + 2 x$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $5 x^{2} y - 2 x y^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{3}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{2} y]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{2} y$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{3}]$

ステップ 3.2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{3}]$

ステップ 3.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$5 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{3}]$

ステップ 3.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{3}]$

ステップ 3.2.5

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$5 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{3}]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x y^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x y^{3}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ です。

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - 2 \frac{d}{d x} [x y^{3}]$

ステップ 3.3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - 2 (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.3

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - 2 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - 2 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.3.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - 2 (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - 2 (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - 2 (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1)$

ステップ 3.3.6

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - 2 (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1)$

ステップ 3.3.7

$y^{3}$ に $1$ をかけます。

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - 2 (3 x y^{2} y' + y^{3})$

ステップ 3.4

簡約します。

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ステップ 3.4.1

分配則を当てはめます。

$5 (x^{2} y') + 5 (2 y x) - 2 (3 x y^{2} y' + y^{3})$

ステップ 3.4.2

分配則を当てはめます。

$5 (x^{2} y') + 5 (2 y x) - 2 (3 x y^{2} y') - 2 y^{3}$

ステップ 3.4.3

項をまとめます。

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ステップ 3.4.3.1

$2$ に $5$ をかけます。

$5 x^{2} y' + 10 (y x) - 2 (3 x y^{2} y') - 2 y^{3}$

ステップ 3.4.3.2

$3$ に $- 2$ をかけます。

$5 x^{2} y' + 10 y x - 6 x y^{2} y' - 2 y^{3}$

ステップ 3.4.4

項を並べ替えます。

$- 2 y^{3} + 5 x^{2} y' + 10 x y - 6 y^{2} x y'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$- 3 y^{2} y' + 2 x = - 2 y^{3} + 5 x^{2} y' + 10 x y - 6 y^{2} x y'$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

$y'$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$- 2 y^{3} + 5 x^{2} y' + 10 x y - 6 y^{2} x y' = - 3 y^{2} y' + 2 x$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $3 y^{2} y'$ を足します。

$- 2 y^{3} + 5 x^{2} y' + 10 x y - 6 y^{2} x y' + 3 y^{2} y' = 2 x$

ステップ 5.3

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.3.1

方程式の両辺に $2 y^{3}$ を足します。

$5 x^{2} y' + 10 x y - 6 y^{2} x y' + 3 y^{2} y' = 2 x + 2 y^{3}$

ステップ 5.3.2

方程式の両辺から $10 x y$ を引きます。

$5 x^{2} y' - 6 y^{2} x y' + 3 y^{2} y' = 2 x + 2 y^{3} - 10 x y$

ステップ 5.4

$y'$ を $5 x^{2} y' - 6 y^{2} x y' + 3 y^{2} y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.4.1

$y'$ を $5 x^{2} y'$ で因数分解します。

$y' (5 x^{2}) - 6 y^{2} x y' + 3 y^{2} y' = 2 x + 2 y^{3} - 10 x y$

ステップ 5.4.2

$y'$ を $- 6 y^{2} x y'$ で因数分解します。

$y' (5 x^{2}) + y' (- 6 y^{2} x) + 3 y^{2} y' = 2 x + 2 y^{3} - 10 x y$

ステップ 5.4.3

$y'$ を $3 y^{2} y'$ で因数分解します。

$y' (5 x^{2}) + y' (- 6 y^{2} x) + y' (3 y^{2}) = 2 x + 2 y^{3} - 10 x y$

ステップ 5.4.4

$y'$ を $y' (5 x^{2}) + y' (- 6 y^{2} x)$ で因数分解します。

$y' (5 x^{2} - 6 y^{2} x) + y' (3 y^{2}) = 2 x + 2 y^{3} - 10 x y$

ステップ 5.4.5

$y'$ を $y' (5 x^{2} - 6 y^{2} x) + y' (3 y^{2})$ で因数分解します。

$y' (5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}) = 2 x + 2 y^{3} - 10 x y$

ステップ 5.5

$y' (5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}) = 2 x + 2 y^{3} - 10 x y$ の各項を $5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.5.1

$y' (5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}) = 2 x + 2 y^{3} - 10 x y$ の各項を $5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}$ で割ります。

$\frac{y' (5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2})}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}} = \frac{2 x}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}} + \frac{2 y^{3}}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}} + \frac{- 10 x y}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

ステップ 5.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.5.2.1

$5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.2.1.1

共通因数を約分します。

ステップ 5.5.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{2 x}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}} + \frac{2 y^{3}}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}} + \frac{- 10 x y}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

ステップ 5.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.5.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{2 x}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}} + \frac{2 y^{3}}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}} - \frac{10 x y}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

ステップ 5.5.3.2

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{2 x + 2 y^{3}}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}} - \frac{10 x y}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

ステップ 5.5.3.3

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{2 x + 2 y^{3} - 10 x y}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

ステップ 5.5.3.4

$2$ を $2 x + 2 y^{3} - 10 x y$ で因数分解します。

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ステップ 5.5.3.4.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (x) + 2 y^{3} - 10 x y}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

ステップ 5.5.3.4.2

$2$ を $2 y^{3}$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (x) + 2 (y^{3}) - 10 x y}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

ステップ 5.5.3.4.3

$2$ を $- 10 x y$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (x) + 2 (y^{3}) + 2 (- 5 x y)}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

ステップ 5.5.3.4.4

$2$ を $2 (x) + 2 (y^{3})$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (x + y^{3}) + 2 (- 5 x y)}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

ステップ 5.5.3.4.5

$2$ を $2 (x + y^{3}) + 2 (- 5 x y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (x + y^{3} - 5 x y)}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (x + y^{3} - 5 x y)}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

微分積分 例

微分積分例