微分積分例

$y = \frac{2 x^{2} - 5 x}{3}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x^{2} - 5 x}{3})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

$x$ を $2 x^{2} - 5 x$ で因数分解します。

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ステップ 3.1.1.1

$x$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x (2 x) - 5 x}{3}]$

ステップ 3.1.1.2

$x$ を $- 5 x$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x (2 x) + x \cdot - 5}{3}]$

ステップ 3.1.1.3

$x$ を $x (2 x) + x \cdot - 5$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x (2 x - 5)}{3}]$

ステップ 3.1.2

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x (2 x - 5)}{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x (2 x - 5)]$ です。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x (2 x - 5)]$

ステップ 3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = 2 x - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{3} (x \frac{d}{d x} [2 x - 5] + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3

微分します。

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ステップ 3.3.1

総和則では、 $2 x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$\frac{1}{3} (x (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{3} (x (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} (x (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.4

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} (x (2 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.5

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{3} (x (2 + 0) + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.6

式を簡約します。

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ステップ 3.3.6.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{3} (x \cdot 2 + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.6.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{1}{3} (2 \cdot x + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} (2 x + (2 x - 5) \cdot 1)$

ステップ 3.3.8

項を加えて簡約します。

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ステップ 3.3.8.1

$2 x - 5$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} (2 x + 2 x - 5)$

ステップ 3.3.8.2

$2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{1}{3} (4 x - 5)$

ステップ 3.4

簡約します。

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ステップ 3.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{3} (4 x) + \frac{1}{3} \cdot - 5$

ステップ 3.4.2

項をまとめます。

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ステップ 3.4.2.1

$4$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{4}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 5$

ステップ 3.4.2.2

$\frac{4}{3}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{4 x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 5$

ステップ 3.4.2.3

$\frac{1}{3}$ と $- 5$ をまとめます。

$\frac{4 x}{3} + \frac{- 5}{3}$

ステップ 3.4.2.4

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{4 x}{3} - \frac{5}{3}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{4 x}{3} - \frac{5}{3}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{3} - \frac{5}{3}$

微分積分 例

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