微分積分例

$y = \frac{5}{\cos (x)} + \frac{1}{\tan (x)}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{5}{\cos (x)} + \frac{1}{\tan (x)})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $\frac{5}{\cos (x)} + \frac{1}{\tan (x)}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{5}{\cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{\cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{\cos (x)}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{5}{\cos (x)}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

ステップ 3.2.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\cos^{- 1} (x)$ に書き換えます。

$5 \frac{d}{d x} [\cos^{- 1} (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

ステップ 3.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\cos (x)$ とします。

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

ステップ 3.2.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

ステップ 3.2.3.3

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$5 (- \cos^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

ステップ 3.2.4

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$5 (- \cos^{- 2} (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

ステップ 3.2.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$5 (1 \cos^{- 2} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

ステップ 3.2.6

$\cos^{- 2} (x)$ に $1$ をかけます。

$5 \cos^{- 2} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$5 \cos^{- 2} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}]$

ステップ 3.3.2

分数の逆数を掛け、 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ で割ります。

$5 \cos^{- 2} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{\sin (x)}]$

ステップ 3.3.3

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を $\cot (x)$ に変換します。

$5 \cos^{- 2} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

ステップ 3.3.4

$x$ に関する $\cot (x)$ の微分係数は $- \csc^{2} (x)$ です。

$5 \cos^{- 2} (x) \sin (x) - \csc^{2} (x)$

ステップ 3.4

簡約します。

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ステップ 3.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$5 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) - \csc^{2} (x)$

ステップ 3.4.2

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ を $\sec^{2} (x)$ に変換します。

$5 \sec^{2} (x) \sin (x) - \csc^{2} (x)$

ステップ 3.4.3

各項を簡約します。

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ステップ 3.4.3.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$5 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) - \csc^{2} (x)$

ステップ 3.4.3.2

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$5 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) - \csc^{2} (x)$

ステップ 3.4.3.3

1のすべての数の累乗は1です。

$5 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) - \csc^{2} (x)$

ステップ 3.4.3.4

$5$ と $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ をまとめます。

$\frac{5}{\cos^{2} (x)} \sin (x) - \csc^{2} (x)$

ステップ 3.4.3.5

$\frac{5}{\cos^{2} (x)}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$\frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \csc^{2} (x)$

ステップ 3.4.3.6

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$\frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

ステップ 3.4.3.7

積の法則を $\frac{1}{\sin (x)}$ に当てはめます。

$\frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.4.3.8

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.4.4

各項を簡約します。

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ステップ 3.4.4.1

$\cos (x)$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{5 \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.4.4.2

分数を分解します。

$\frac{5}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.4.4.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\frac{5}{\cos (x)} \tan (x) - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.4.4.4

分数を分解します。

$\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.4.4.5

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\frac{5}{1} \sec (x) \tan (x) - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.4.4.6

$5$ を $1$ で割ります。

$5 \sec (x) \tan (x) - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.4.4.7

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$5 \sec (x) \tan (x) - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.4.4.8

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ を ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ に書き換えます。

$5 \sec (x) \tan (x) - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

ステップ 3.4.4.9

$\frac{1}{\sin (x)}$ を $\csc (x)$ に変換します。

$5 \sec (x) \tan (x) - \csc^{2} (x)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 5 \sec (x) \tan (x) - \csc^{2} (x)$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 5 \sec (x) \tan (x) - \csc^{2} (x)$

微分積分 例

微分積分例