微分積分例

$y = {(x - \ln (x))}^{7}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x - \ln (x))}^{7})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = x^{7}$ および $g (x) = x - \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - \ln (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [x - \ln (x)]$

ステップ 3.1.2

$n = 7$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 u^{6} \frac{d}{d x} [x - \ln (x)]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $x - \ln (x)$ で置き換えます。

$7 {(x - \ln (x))}^{6} \frac{d}{d x} [x - \ln (x)]$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $x - \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ です。

$7 {(x - \ln (x))}^{6} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

ステップ 3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 {(x - \ln (x))}^{6} (1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

ステップ 3.2.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \ln (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$7 {(x - \ln (x))}^{6} (1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 3.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$7 {(x - \ln (x))}^{6} (1 - \frac{1}{x})$

ステップ 3.4

簡約します。

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ステップ 3.4.1

分配則を当てはめます。

$7 {(x - \ln (x))}^{6} \cdot 1 + 7 {(x - \ln (x))}^{6} (- \frac{1}{x})$

ステップ 3.4.2

$7$ に $1$ をかけます。

$7 {(x - \ln (x))}^{6} + 7 {(x - \ln (x))}^{6} (- \frac{1}{x})$

ステップ 3.4.3

$7 {(x - \ln (x))}^{6} (- \frac{1}{x})$ を掛けます。

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ステップ 3.4.3.1

$- 1$ に $7$ をかけます。

$7 {(x - \ln (x))}^{6} - 7 {(x - \ln (x))}^{6} \frac{1}{x}$

ステップ 3.4.3.2

$\frac{1}{x}$ と $- 7$ をまとめます。

$7 {(x - \ln (x))}^{6} + \frac{- 7}{x} {(x - \ln (x))}^{6}$

ステップ 3.4.3.3

$\frac{- 7}{x}$ と ${(x - \ln (x))}^{6}$ をまとめます。

$7 {(x - \ln (x))}^{6} + \frac{- 7 {(x - \ln (x))}^{6}}{x}$

ステップ 3.4.4

分数の前に負数を移動させます。

$7 {(x - \ln (x))}^{6} - \frac{7 {(x - \ln (x))}^{6}}{x}$

ステップ 3.4.5

$7 {(x - \ln (x))}^{6}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} x}{x} - \frac{7 {(x - \ln (x))}^{6}}{x}$

ステップ 3.4.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} x - 7 {(x - \ln (x))}^{6}}{x}$

ステップ 3.4.7

$7 {(x - \ln (x))}^{6}$ を $7 {(x - \ln (x))}^{6} x - 7 {(x - \ln (x))}^{6}$ で因数分解します。

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ステップ 3.4.7.1

$7 {(x - \ln (x))}^{6}$ を $7 {(x - \ln (x))}^{6} x$ で因数分解します。

$\frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} (x) - 7 {(x - \ln (x))}^{6}}{x}$

ステップ 3.4.7.2

$7 {(x - \ln (x))}^{6}$ を $- 7 {(x - \ln (x))}^{6}$ で因数分解します。

$\frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} (x) + 7 {(x - \ln (x))}^{6} (- 1)}{x}$

ステップ 3.4.7.3

$7 {(x - \ln (x))}^{6}$ を $7 {(x - \ln (x))}^{6} (x) + 7 {(x - \ln (x))}^{6} (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} (x - 1)}{x}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} (x - 1)}{x}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} (x - 1)}{x}$

微分積分 例

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