微分積分例

$\ln (x) y + 5 x = 30$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\ln (x) y + 5 x) = \frac{d}{d x} (30)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $\ln (x) y + 5 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\ln (x) y] + \frac{d}{d x} [5 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [\ln (x) y] + \frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [\ln (x) y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\ln (x) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\ln (x) y' + y \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 2.2.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\ln (x) y' + y \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 2.2.4

$y$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\ln (x) y' + \frac{y}{x} + \frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [5 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\ln (x) y' + \frac{y}{x} + 5 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\ln (x) y' + \frac{y}{x} + 5 \cdot 1$

ステップ 2.3.3

$5$ に $1$ をかけます。

$\ln (x) y' + \frac{y}{x} + 5$

ステップ 3

$30$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $30$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\ln (x) y' + \frac{y}{x} + 5 = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

$\ln (x) y' + \frac{y}{x} + 5$ の因数を並べ替えます。

$y' \ln (x) + \frac{y}{x} + 5 = 0$

ステップ 5.2

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺から $\frac{y}{x}$ を引きます。

$y' \ln (x) + 5 = - \frac{y}{x}$

ステップ 5.2.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$y' \ln (x) = - \frac{y}{x} - 5$

ステップ 5.3

$y' \ln (x) = - \frac{y}{x} - 5$ の各項を $\ln (x)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$y' \ln (x) = - \frac{y}{x} - 5$ の各項を $\ln (x)$ で割ります。

$\frac{y' \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \frac{y}{x}}{\ln (x)} + \frac{- 5}{\ln (x)}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$\ln (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \frac{y}{x}}{\ln (x)} + \frac{- 5}{\ln (x)}$

ステップ 5.3.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- \frac{y}{x}}{\ln (x)} + \frac{- 5}{\ln (x)}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$y' = - \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{\ln (x)} + \frac{- 5}{\ln (x)}$

ステップ 5.3.3.1.2

$\frac{1}{\ln (x)}$ に $\frac{y}{x}$ をかけます。

$y' = - \frac{y}{\ln (x) x} + \frac{- 5}{\ln (x)}$

ステップ 5.3.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y}{\ln (x) x} - \frac{5}{\ln (x)}$

ステップ 5.3.3.2

$- \frac{y}{\ln (x) x} - \frac{5}{\ln (x)}$ の因数を並べ替えます。

$y' = - \frac{y}{x \ln (x)} - \frac{5}{\ln (x)}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x \ln (x)} - \frac{5}{\ln (x)}$

微分積分 例

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