微分積分例

$\arcsin (x y) = \frac{2}{3} \cdot \arctan (4 x)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\arcsin (x y)) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{3} \cdot \arctan (4 x))$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = \arcsin (x)$ および $g (x) = x y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x y$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 2.1.2

$u$ に関する $\arcsin (u)$ の微分係数は $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ です。

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $x y$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(x y)}^{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(x y)}^{2}}} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(x y)}^{2}}} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(x y)}^{2}}} (x y' + y \cdot 1)$

ステップ 2.5

$y$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(x y)}^{2}}} (x y' + y)$

ステップ 2.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

積の法則を $x y$ に当てはめます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - (x^{2} y^{2})}} (x y' + y)$

ステップ 2.6.2

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2} y^{2}}} (x y' + y)$ の因数を並べ替えます。

$(x y' + y) \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2} y^{2}}}$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{2}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2}{3} \cdot \arctan (4 x)$ の微分係数は $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\arctan (4 x)]$ です。

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\arctan (4 x)]$

ステップ 3.2

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x$ とします。

$\frac{2}{3} (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 3.2.2

$u$ に関する $\arctan (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$\frac{2}{3} (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$\frac{2}{3} (\frac{1}{1 + {(4 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 3.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$4$ を $4 x$ で因数分解します。

$\frac{2}{3} (\frac{1}{1 + {(4 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 3.3.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

積の法則を $4 (x)$ に当てはめます。

$\frac{2}{3} (\frac{1}{1 + 4^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 3.3.2.1.2

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{2}{3} (\frac{1}{1 + 16 x^{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 3.3.2.2

$\frac{1}{1 + 16 x^{2}}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$\frac{2}{(1 + 16 x^{2}) \cdot 3} \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 3.3.2.3

$3$ を $1 + 16 x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{2}{3 \cdot (1 + 16 x^{2})} \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 3.3.3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{2}{3 (1 + 16 x^{2})} (4 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.4

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1

$4$ と $\frac{2}{3 (1 + 16 x^{2})}$ をまとめます。

$\frac{4 \cdot 2}{3 (1 + 16 x^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3.4.2

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{8}{3 (1 + 16 x^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{8}{3 (1 + 16 x^{2})} \cdot 1$

ステップ 3.3.6

$\frac{8}{3 (1 + 16 x^{2})}$ に $1$ をかけます。

$\frac{8}{3 (1 + 16 x^{2})}$

ステップ 3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{8}{3 \cdot 1 + 3 (16 x^{2})}$

ステップ 3.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{8}{3 + 3 (16 x^{2})}$

ステップ 3.4.2.2

$16$ に $3$ をかけます。

$\frac{8}{3 + 48 x^{2}}$

ステップ 3.4.3

項を並べ替えます。

$\frac{8}{48 x^{2} + 3}$

ステップ 3.4.4

$3$ を $48 x^{2} + 3$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.1

$3$ を $48 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{8}{3 (16 x^{2}) + 3}$

ステップ 3.4.4.2

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{8}{3 (16 x^{2}) + 3 (1)}$

ステップ 3.4.4.3

$3$ を $3 (16 x^{2}) + 3 (1)$ で因数分解します。

$\frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$(x y' + y) (\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2} y^{2}}}) = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)}$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$(x y' + y) \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2} y^{2}}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)}$ の各項に $\sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$(x y' + y) \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2} y^{2}}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)}$ の各項に $\sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$ を掛けます。

$(x y' + y) \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2} y^{2}}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$(x y' + y) \frac{1}{\sqrt{1^{2} - x^{2} y^{2}}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.1.2

$x^{2} y^{2}$ を ${(x y)}^{2}$ に書き換えます。

$(x y' + y) \frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(x y)}^{2}}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.1.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x y$ です。

$(x y' + y) \frac{1}{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.2

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}$ に $\frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}$ をかけます。

$(x y' + y) (\frac{1}{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}) \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.3.1

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.3.1.1

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}$ に $\frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}$ をかけます。

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.3.1.2

$\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}$ を $1$ 乗します。

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{1} \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.3.1.3

$\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}$ を $1$ 乗します。

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{1} {\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{1}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.3.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{1 + 1}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.3.1.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{2}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.3.1.6

${\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{2}$ を $(1 + x y) (1 - x y)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.3.1.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}$ を ${((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{{({((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.3.1.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{{((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.3.1.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{{((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{2}{2}}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.3.1.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.3.1.6.4.1

共通因数を約分します。

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{{((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{2}{2}}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.3.1.6.4.2

式を書き換えます。

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{{((1 + x y) (1 - x y))}^{1}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.3.1.6.5

簡約します。

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{(1 + x y) (1 - x y)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.3.2

$x y' + y$ に $\frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{(1 + x y) (1 - x y)}$ をかけます。

$\frac{(x y' + y) \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{(1 + x y) (1 - x y)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.3.3

指数を利用して式を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.3.3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(x y' + y) \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{(1 + x y) (1 - x y)} \sqrt{1^{2} - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.3.3.2

$x^{2} y^{2}$ を ${(x y)}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(x y' + y) \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{(1 + x y) (1 - x y)} \sqrt{1^{2} - {(x y)}^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x y$ です。

$\frac{(x y' + y) \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{(1 + x y) (1 - x y)} \sqrt{(1 + x y) (1 - (x y))} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.5

$\frac{(x y' + y) \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{(1 + x y) (1 - x y)} \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.5.1

$\frac{(x y' + y) \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{(1 + x y) (1 - x y)}$ と $\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}$ をまとめます。

$\frac{(x y' + y) \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.5.2

$\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}$ を $1$ 乗します。

$\frac{(x y' + y) ({\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{1} \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)})}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.5.3

$\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}$ を $1$ 乗します。

$\frac{(x y' + y) ({\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{1} {\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{1})}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(x y' + y) {\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{1 + 1}}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{(x y' + y) {\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{2}}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.6.1

${\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{2}$ を $(1 + x y) (1 - x y)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.6.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}$ を ${((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{(x y' + y) {({((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.6.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{(x y' + y) {((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.6.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{(x y' + y) {((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{2}{2}}}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.6.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.6.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x y' + y) {((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{2}{2}}}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.6.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{(x y' + y) {((1 + x y) (1 - x y))}^{1}}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.6.1.5

簡約します。

$\frac{(x y' + y) ((1 + x y) (1 - x y))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.6.2

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + x y) (1 - x y)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.6.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(x y' + y) (1 (1 - x y) + x y (1 - x y))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.6.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{(x y' + y) (1 \cdot 1 + 1 (- x y) + x y (1 - x y))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.6.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{(x y' + y) (1 \cdot 1 + 1 (- x y) + x y \cdot 1 + x y (- x y))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.6.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.6.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.6.3.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x y' + y) (1 + 1 (- x y) + x y \cdot 1 + x y (- x y))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.6.3.1.2

$- x y$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x y' + y) (1 - x y + x y \cdot 1 + x y (- x y))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.6.3.1.3

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x y' + y) (1 - x y + x y + x y (- x y))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.6.3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{(x y' + y) (1 - x y + x y - x y (x y))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.6.3.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.6.3.1.5.1

$x$ を移動させます。

$\frac{(x y' + y) (1 - x y + x y - (x \cdot x) y \cdot y)}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.6.3.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{(x y' + y) (1 - x y + x y - x^{2} y \cdot y)}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.6.3.1.6

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.6.3.1.6.1

$y$ を移動させます。

$\frac{(x y' + y) (1 - x y + x y - x^{2} (y \cdot y))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.6.3.1.6.2

$y$ に $y$ をかけます。

$\frac{(x y' + y) (1 - x y + x y - x^{2} y^{2})}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.6.3.2

$- x y$ と $x y$ をたし算します。

$\frac{(x y' + y) (1 + 0 - x^{2} y^{2})}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.6.3.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x y' + y) (1 - x^{2} y^{2})}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.6.4

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(x y' + y) (1^{2} - x^{2} y^{2})}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.6.5

$x^{2} y^{2}$ を ${(x y)}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(x y' + y) (1^{2} - {(x y)}^{2})}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.6.6

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x y$ です。

$\frac{(x y' + y) ((1 + x y) (1 - (x y)))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.6.7

不要な括弧を削除します。

$\frac{(x y' + y) (1 + x y) (1 - x y)}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.7

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.7.1

$1 + x y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.7.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x y' + y) (1 + x y) (1 - x y)}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.7.1.2

式を書き換えます。

$\frac{(x y' + y) (1 - x y)}{1 - x y} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.7.2

$1 - x y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.7.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x y' + y) (1 - x y)}{1 - x y} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.2.7.2.2

$x y' + y$ を $1$ で割ります。

$x y' + y = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

指数を利用して式を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$x y' + y = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1^{2} - x^{2} y^{2}}$

ステップ 5.1.3.1.2

$x^{2} y^{2}$ を ${(x y)}^{2}$ に書き換えます。

$x y' + y = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1^{2} - {(x y)}^{2}}$

ステップ 5.1.3.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x y$ です。

$x y' + y = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{(1 + x y) (1 - (x y))}$

ステップ 5.1.3.3

$\frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)}$ と $\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}$ をまとめます。

$x y' + y = \frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)}$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$x y' = \frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)} - y$

ステップ 5.3

$x y' = \frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)} - y$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$x y' = \frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)} - y$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x y'}{x} = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x} + \frac{- y}{x}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y'}{x} = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x} + \frac{- y}{x}$

ステップ 5.3.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x} + \frac{- y}{x}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)} - y}{x}$

ステップ 5.3.3.2

$- y$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3 (16 x^{2} + 1)}{3 (16 x^{2} + 1)}$ を掛けます。

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)} - y \cdot \frac{3 (16 x^{2} + 1)}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x}$

ステップ 5.3.3.3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.3.1

$- y$ と $\frac{3 (16 x^{2} + 1)}{3 (16 x^{2} + 1)}$ をまとめます。

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)} + \frac{- y (3 (16 x^{2} + 1))}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x}$

ステップ 5.3.3.3.2

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - y (3 (16 x^{2} + 1))}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x}$

ステップ 5.3.3.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.4.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 3 y (16 x^{2} + 1)}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x}$

ステップ 5.3.3.4.2

分配則を当てはめます。

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 3 y (16 x^{2}) - 3 y \cdot 1}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x}$

ステップ 5.3.3.4.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 3 \cdot 16 y x^{2} - 3 y \cdot 1}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x}$

ステップ 5.3.3.4.4

$- 3$ に $1$ をかけます。

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 3 \cdot 16 y x^{2} - 3 y}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x}$

ステップ 5.3.3.4.5

$- 3$ に $16$ をかけます。

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 48 y x^{2} - 3 y}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x}$

ステップ 5.3.3.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$y' = \frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 48 y x^{2} - 3 y}{3 (16 x^{2} + 1)} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 5.3.3.6

$\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 48 y x^{2} - 3 y}{3 (16 x^{2} + 1)}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$y' = \frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 48 y x^{2} - 3 y}{3 (16 x^{2} + 1) x}$

ステップ 5.3.3.7

$\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 48 y x^{2} - 3 y}{3 (16 x^{2} + 1) x}$ の因数を並べ替えます。

$y' = \frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 48 y x^{2} - 3 y}{3 x (16 x^{2} + 1)}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 48 y x^{2} - 3 y}{3 x (16 x^{2} + 1)}$

微分積分 例

微分積分例