微分積分例

$x \ln (y) + 2 y = 2 x^{3}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x \ln (y) + 2 y) = \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x \ln (y) + 2 y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x \ln (y)] + \frac{d}{d x} [2 y]$ です。

$\frac{d}{d x} [x \ln (y)] + \frac{d}{d x} [2 y]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [x \ln (y)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (y)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [\ln (y)] + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

ステップ 2.2.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

ステップ 2.2.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$x (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$x (\frac{1}{y} y') + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

ステップ 2.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (\frac{1}{y} y') + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

ステップ 2.2.5

$\frac{1}{y}$ と $y'$ をまとめます。

$x \frac{y'}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

ステップ 2.2.6

$x$ と $\frac{y'}{y}$ をまとめます。

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

ステップ 2.2.7

$\ln (y)$ に $1$ をかけます。

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{d}{d x} [2 y]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [2 y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 y$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [y]$ です。

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + 2 \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + 2 y'$

ステップ 2.4

項を並べ替えます。

$2 y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y)$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (3 x^{2})$

ステップ 3.3

$3$ に $2$ をかけます。

$6 x^{2}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$2 y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) = 6 x^{2}$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 5.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, y, 1, 1$

ステップ 5.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$y$

ステップ 5.2

$2 y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) = 6 x^{2}$ の各項に $y$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 5.2.1

$2 y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) = 6 x^{2}$ の各項に $y$ を掛けます。

$2 y' y + \frac{x y'}{y} y + \ln (y) y = 6 x^{2} y$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$2 y' y + \frac{x y'}{y} y + \ln (y) y = 6 x^{2} y$

ステップ 5.2.2.1.2

式を書き換えます。

$2 y' y + x y' + \ln (y) y = 6 x^{2} y$

ステップ 5.2.2.2

$2 y' y + x y' + \ln (y) y$ の因数を並べ替えます。

$2 y' y + x y' + y \ln (y) = 6 x^{2} y$

ステップ 5.3

方程式を解きます。

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ステップ 5.3.1

方程式の両辺から $y \ln (y)$ を引きます。

$2 y' y + x y' = 6 x^{2} y - y \ln (y)$

ステップ 5.3.2

$y'$ を $2 y' y + x y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.2.1

$y'$ を $2 y' y$ で因数分解します。

$y' (2 y) + x (y') = 6 x^{2} y - y \ln (y)$

ステップ 5.3.2.2

$y'$ を $x y'$ で因数分解します。

$y' (2 y) + y' (x) = 6 x^{2} y - y \ln (y)$

ステップ 5.3.2.3

$y'$ を $y' (2 y) + y' (x)$ で因数分解します。

$y' (2 y + x) = 6 x^{2} y - y \ln (y)$

ステップ 5.3.3

$y' (2 y + x) = 6 x^{2} y - y \ln (y)$ の各項を $2 y + x$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$y' (2 y + x) = 6 x^{2} y - y \ln (y)$ の各項を $2 y + x$ で割ります。

$\frac{y' (2 y + x)}{2 y + x} = \frac{6 x^{2} y}{2 y + x} + \frac{- y \ln (y)}{2 y + x}$

ステップ 5.3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.2.1

$2 y + x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (2 y + x)}{2 y + x} = \frac{6 x^{2} y}{2 y + x} + \frac{- y \ln (y)}{2 y + x}$

ステップ 5.3.3.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{6 x^{2} y}{2 y + x} + \frac{- y \ln (y)}{2 y + x}$

ステップ 5.3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{6 x^{2} y - y \ln (y)}{2 y + x}$

ステップ 5.3.3.3.2

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.3.3.2.1

$y$ を $6 x^{2} y - y \ln (y)$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.3.3.2.1.1

$y$ を $6 x^{2} y$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (6 x^{2}) - y \ln (y)}{2 y + x}$

ステップ 5.3.3.3.2.1.2

$y$ を $- y \ln (y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (6 x^{2}) + y (- 1 \ln (y))}{2 y + x}$

ステップ 5.3.3.3.2.1.3

$y$ を $y (6 x^{2}) + y (- 1 \ln (y))$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (6 x^{2} - 1 \ln (y))}{2 y + x}$

ステップ 5.3.3.3.2.2

$- 1 \ln (y)$ を $- \ln (y)$ に書き換えます。

$y' = \frac{y (6 x^{2} - \ln (y))}{2 y + x}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (6 x^{2} - \ln (y))}{2 y + x}$

微分積分 例

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