微分積分例

$x = \sqrt{1 - y^{2}}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 - y^{2}}$ を ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} ({(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 1 - y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $1 - y^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

ステップ 4.1.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

ステップ 4.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $1 - y^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

ステップ 4.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

ステップ 4.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

ステップ 4.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

ステップ 4.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

ステップ 4.5.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

ステップ 4.6

微分します。

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ステップ 4.6.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

ステップ 4.6.2

分数をまとめます。

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ステップ 4.6.2.1

$\frac{1}{2}$ と ${(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

ステップ 4.6.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

ステップ 4.6.3

総和則では、 $1 - y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ です。

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

ステップ 4.6.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

ステップ 4.6.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

ステップ 4.6.6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- y^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [y^{2}])$

ステップ 4.7

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $y$ とします。

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

ステップ 4.7.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]))$

ステップ 4.7.3

$u_{2}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

ステップ 4.8

項を簡約します。

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ステップ 4.8.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 (y \frac{d}{d x} [y]))$

ステップ 4.8.2

$- 2$ と $\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (y \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 4.8.3

$y$ と $\frac{- 2}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{y \cdot - 2}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 4.8.4

$- 2$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{- 2 \cdot y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 4.8.5

$2$ を $- 2 y$ で因数分解します。

$\frac{2 (- y)}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 4.9

共通因数を約分します。

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ステップ 4.9.1

$2$ を $2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- y)}{2 ({(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 4.9.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- y)}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 4.9.3

式を書き換えます。

$\frac{- y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 4.10

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 4.11

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$- \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} y'$

ステップ 4.12

$y'$ と $\frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$- \frac{y' y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.13

$y' y$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$1 = - \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6

$y'$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $- \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 1$ として書き換えます。

$- \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 1$

ステップ 6.2

$- \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.2.1

$- \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

ステップ 6.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

ステップ 6.2.2.2

$\frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ を $1$ で割ります。

$\frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{- 1}$

ステップ 6.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1

$1$ を $- 1$ で割ります。

$\frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = - 1$

ステップ 6.3

両辺に ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

$\frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} = - {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.4

左辺を簡約します。

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ステップ 6.4.1

${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} = - {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.4.1.2

式を書き換えます。

$y y' = - {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.5

$y y' = - {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の各項を $y$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.5.1

$y y' = - {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の各項を $y$ で割ります。

$\frac{y y'}{y} = \frac{- {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$

ステップ 6.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.5.2.1

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y y'}{y} = \frac{- {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$

ステップ 6.5.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$

ステップ 6.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.5.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$

ステップ 7

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$

微分積分 例

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