微分積分例

$z = \frac{x^{3} y - x y^{3}}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{3} y - x y^{3}}{x^{2} + y^{2}})$

ステップ 2

$x$ に関する $z$ の微分係数は $z'$ です。

$z'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (x) = x^{3} y - x y^{3}$ および $g (x) = x^{2} + y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} y - x y^{3}] - (x^{3} y - x y^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

総和則では、 $x^{3} y - x y^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$ です。

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]) - (x^{3} y - x y^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x^{3} y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]) - (x^{3} y - x y^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]) - (x^{3} y - x y^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.4

$3$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 \cdot y x^{2} + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]) - (x^{3} y - x y^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.5

$- y^{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x y^{3}$ の微分係数は $- y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3} \frac{d}{d x} [x]) - (x^{3} y - x y^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3} \cdot 1) - (x^{3} y - x y^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3}) - (x^{3} y - x y^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.8

総和則では、 $x^{2} + y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3}) - (x^{3} y - x y^{3}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3}) - (x^{3} y - x y^{3}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.10

$y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3}) - (x^{3} y - x y^{3}) (2 x + 0)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.11.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3}) - (x^{3} y - x y^{3}) (2 x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.11.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3}) - 2 (x^{3} y - x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3}) + (- 2 (x^{3} y) - 2 (- x y^{3})) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} (3 y x^{2} - y^{3}) + y^{2} (3 y x^{2} - y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.3.1.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} (3 y x^{2}) + x^{2} (- y^{3}) + y^{2} (3 y x^{2} - y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.3.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} (3 y x^{2}) + x^{2} (- y^{3}) + y^{2} (3 y x^{2}) + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.3.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{3 x^{2} (y x^{2}) + x^{2} (- y^{3}) + y^{2} (3 y x^{2}) + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.3.1.2.1.2

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.2.1.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{3 (x^{2} x^{2}) y + x^{2} (- y^{3}) + y^{2} (3 y x^{2}) + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.3.1.2.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 x^{2 + 2} y + x^{2} (- y^{3}) + y^{2} (3 y x^{2}) + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.3.1.2.1.2.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{3 x^{4} y + x^{2} (- y^{3}) + y^{2} (3 y x^{2}) + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.3.1.2.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + y^{2} (3 y x^{2}) + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.3.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 y^{2} (y x^{2}) + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.3.1.2.1.5

指数を足して $y^{2}$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.2.1.5.1

$y$ を移動させます。

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 (y \cdot y^{2}) x^{2} + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.3.1.2.1.5.2

$y$ に $y^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.2.1.5.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 (y^{1} y^{2}) x^{2} + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.3.1.2.1.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 y^{1 + 2} x^{2} + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.3.1.2.1.5.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 y^{3} x^{2} + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.3.1.2.1.6

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 y^{3} x^{2} - y^{2} y^{3} - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.3.1.2.1.7

指数を足して $y^{2}$ に $y^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.2.1.7.1

$y^{3}$ を移動させます。

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 y^{3} x^{2} - (y^{3} y^{2}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.3.1.2.1.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 y^{3} x^{2} - y^{3 + 2} - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.3.1.2.1.7.3

$3$ と $2$ をたし算します。

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 y^{3} x^{2} - y^{5} - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.3.1.2.2

$- x^{2} y^{3}$ と $3 y^{3} x^{2}$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.2.2.1

$y^{3}$ を移動させます。

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 x^{2} y^{3} - y^{5} - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.3.1.2.2.2

$- x^{2} y^{3}$ と $3 x^{2} y^{3}$ をたし算します。

$\frac{3 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3} - y^{5} - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.3.1.3

指数を足して $x^{3}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.3.1

$x$ を移動させます。

$\frac{3 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3} - y^{5} - 2 (x \cdot x^{3} y) - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.3.1.3.2

$x$ に $x^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3} - y^{5} - 2 (x^{1} x^{3} y) - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.3.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3} - y^{5} - 2 (x^{1 + 3} y) - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.3.1.3.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{3 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3} - y^{5} - 2 (x^{4} y) - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.3.1.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.4.1

$x$ を移動させます。

$\frac{3 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3} - y^{5} - 2 x^{4} y - 2 (- (x \cdot x) y^{3})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.3.1.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{3 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3} - y^{5} - 2 x^{4} y - 2 (- x^{2} y^{3})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.3.1.5

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{3 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3} - y^{5} - 2 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.3.2

$3 x^{4} y$ から $2 x^{4} y$ を引きます。

$\frac{2 x^{2} y^{3} - y^{5} + 1 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.3.3

$x^{4}$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} y^{3} - y^{5} + x^{4} y + 2 x^{2} y^{3}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.3.4

$2 x^{2} y^{3}$ と $2 x^{2} y^{3}$ をたし算します。

$\frac{- y^{5} + x^{4} y + 4 x^{2} y^{3}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.4

項を並べ替えます。

$\frac{- y^{5} + x^{4} y + 4 y^{3} x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.5

$y$ を $- y^{5} + x^{4} y + 4 y^{3} x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.1

$y$ を $- y^{5}$ で因数分解します。

$\frac{y (- y^{4}) + x^{4} y + 4 y^{3} x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.5.2

$y$ を $x^{4} y$ で因数分解します。

$\frac{y (- y^{4}) + y x^{4} + 4 y^{3} x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.5.3

$y$ を $4 y^{3} x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{y (- y^{4}) + y x^{4} + y (4 y^{2} x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.5.4

$y$ を $y (- y^{4}) + y x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{y (- y^{4} + x^{4}) + y (4 y^{2} x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.5.5

$y$ を $y (- y^{4} + x^{4}) + y (4 y^{2} x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{y (- y^{4} + x^{4} + 4 y^{2} x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.6

$- 1$ を $- y^{4}$ で因数分解します。

$\frac{y (- (y^{4}) + x^{4} + 4 y^{2} x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.7

$- 1$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{y (- (y^{4}) - 1 (- x^{4}) + 4 y^{2} x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.8

$- 1$ を $- (y^{4}) - 1 (- x^{4})$ で因数分解します。

$\frac{y (- (y^{4} - x^{4}) + 4 y^{2} x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.9

$- 1$ を $4 y^{2} x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{y (- (y^{4} - x^{4}) - (- 4 y^{2} x^{2}))}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.10

$- 1$ を $- (y^{4} - x^{4}) - (- 4 y^{2} x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{y (- (y^{4} - x^{4} - 4 y^{2} x^{2}))}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.11

$- (y^{4} - x^{4} - 4 y^{2} x^{2})$ を $- 1 (y^{4} - x^{4} - 4 y^{2} x^{2})$ に書き換えます。

$\frac{y (- 1 (y^{4} - x^{4} - 4 y^{2} x^{2}))}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.12

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{y (y^{4} - x^{4} - 4 y^{2} x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$z' = - \frac{y (y^{4} - x^{4} - 4 y^{2} x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 5

$z'$ を $\frac{d z}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d z}{d x} = - \frac{y (y^{4} - x^{4} - 4 y^{2} x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例