微分積分例

$y = \arctan (4 x) + \ln (16 x^{2} + 1)$

ステップ 1

総和則では、 $\arctan (4 x) + \ln (16 x^{2} + 1)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\arctan (4 x)] + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\arctan (4 x)] + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\arctan (4 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $4 x$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

ステップ 2.1.2

$u_{1}$ に関する $\arctan (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

ステップ 2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + {(4 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

ステップ 2.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{1 + {(4 x)}^{2}} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{1 + {(4 x)}^{2}} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

ステップ 2.4

$4$ を $4 x$ で因数分解します。

$\frac{1}{1 + {(4 (x))}^{2}} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

ステップ 2.5

積の法則を $4 (x)$ に当てはめます。

$\frac{1}{1 + 4^{2} x^{2}} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

ステップ 2.6

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{1 + 16 x^{2}} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

ステップ 2.7

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{1 + 16 x^{2}} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

ステップ 2.8

$\frac{1}{1 + 16 x^{2}}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 16 x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $16 x^{2} + 1$ とします。

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 1]$

ステップ 3.1.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 1]$

ステップ 3.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $16 x^{2} + 1$ で置き換えます。

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{16 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 1]$

ステップ 3.2

総和則では、 $16 x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{16 x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.3

$16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $16 x^{2}$ の微分係数は $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{16 x^{2} + 1} (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{16 x^{2} + 1} (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{16 x^{2} + 1} (16 (2 x) + 0)$

ステップ 3.6

$2$ に $16$ をかけます。

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{16 x^{2} + 1} (32 x + 0)$

ステップ 3.7

$32 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{16 x^{2} + 1} (32 x)$

ステップ 3.8

$32$ と $\frac{1}{16 x^{2} + 1}$ をまとめます。

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{32}{16 x^{2} + 1} x$

ステップ 3.9

$\frac{32}{16 x^{2} + 1}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{32 x}{16 x^{2} + 1}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

項をまとめます。

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ステップ 4.1.1

項を並べ替えます。

$\frac{4}{16 x^{2} + 1} + \frac{32 x}{16 x^{2} + 1}$

ステップ 4.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 + 32 x}{16 x^{2} + 1}$

ステップ 4.2

項を並べ替えます。

$\frac{32 x + 4}{16 x^{2} + 1}$

ステップ 4.3

$4$ を $32 x + 4$ で因数分解します。

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ステップ 4.3.1

$4$ を $32 x$ で因数分解します。

$\frac{4 (8 x) + 4}{16 x^{2} + 1}$

ステップ 4.3.2

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{4 (8 x) + 4 (1)}{16 x^{2} + 1}$

ステップ 4.3.3

$4$ を $4 (8 x) + 4 (1)$ で因数分解します。

$\frac{4 (8 x + 1)}{16 x^{2} + 1}$

微分積分 例

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