微分積分例

$y = x^{2} \sqrt{x} - \frac{5}{x}$

ステップ 1

総和則では、 $x^{2} \sqrt{x} - \frac{5}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [x^{2} \sqrt{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{2} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

ステップ 2.2

指数を足して $x^{2}$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 2.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d}{d x} [x^{2 + \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

ステップ 2.2.2

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{d}{d x} [x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

ステップ 2.2.3

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

ステップ 2.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

ステップ 2.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.2.5.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4 + 1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

ステップ 2.2.5.2

$4$ と $1$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

ステップ 2.3

$n = \frac{5}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

ステップ 2.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

ステップ 2.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

ステップ 2.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

ステップ 2.7

分子を簡約します。

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ステップ 2.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

ステップ 2.7.2

$5$ から $2$ を引きます。

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{5}{x}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} - 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 3.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} - 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 3.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} - 5 (- x^{- 2})$

ステップ 3.4

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} + 5 x^{- 2}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} + 5 \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 4.2

$5$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} + \frac{5}{x^{2}}$

ステップ 4.3

$\frac{5}{2}$ と $x^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{5}{x^{2}}$

微分積分 例

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