微分積分例

$y = 4 \sin (x) \csc (x^{2})$

ステップ 1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 \sin (x) \csc (x^{2})$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \csc (x^{2})]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \csc (x^{2})]$

ステップ 2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \csc (x^{2})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})] + \csc (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 3

$f (x) = \csc (x)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$4 (\sin (x) (\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \csc (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 3.2

$u$ に関する $\csc (u)$ の微分係数は $- \csc (u) \cot (u)$ です。

$4 (\sin (x) (- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \csc (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$4 (\sin (x) (- \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \csc (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 4.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (\sin (x) (- \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) (2 x)) + \csc (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 4.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$4 (\sin (x) (- 2 \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) x) + \csc (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 5

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$4 (\sin (x) (- 2 \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) x) + \csc (x^{2}) \cos (x))$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$4 (\sin (x) (- 2 \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) x)) + 4 (\csc (x^{2}) \cos (x))$

ステップ 6.2

$- 2$ に $4$ をかけます。

$- 8 \sin (x) \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) x + 4 \csc (x^{2}) \cos (x)$

ステップ 6.3

項を並べ替えます。

$- 8 x \cot (x^{2}) \csc (x^{2}) \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

ステップ 6.4

各項を簡約します。

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ステップ 6.4.1

正弦と余弦に関して $\cot (x^{2})$ を書き換えます。

$- 8 x \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

ステップ 6.4.2

$- 8 x \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ を掛けます。

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ステップ 6.4.2.1

$- 8$ と $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ をまとめます。

$x \frac{- 8 \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

ステップ 6.4.2.2

$x$ と $\frac{- 8 \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ をまとめます。

$\frac{x (- 8 \cos (x^{2}))}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

ステップ 6.4.3

$- 8$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{- 8 \cdot x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

ステップ 6.4.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{8 \cdot x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

ステップ 6.4.5

正弦と余弦に関して $\csc (x^{2})$ を書き換えます。

$- \frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \cdot \frac{1}{\sin (x^{2})} \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

ステップ 6.4.6

$- \frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \cdot \frac{1}{\sin (x^{2})}$ を掛けます。

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ステップ 6.4.6.1

$\frac{1}{\sin (x^{2})}$ に $\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ をかけます。

$- \frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) \sin (x^{2})} \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

ステップ 6.4.6.2

$\sin (x^{2})$ を $1$ 乗します。

$- \frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin^{1} (x^{2}) \sin (x^{2})} \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

ステップ 6.4.6.3

$\sin (x^{2})$ を $1$ 乗します。

$- \frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin^{1} (x^{2}) \sin^{1} (x^{2})} \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

ステップ 6.4.6.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{8 x \cos (x^{2})}{{\sin (x^{2})}^{1 + 1}} \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

ステップ 6.4.6.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

ステップ 6.4.7

$\sin (x)$ と $\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})}$ をまとめます。

$- \frac{\sin (x) (8 x \cos (x^{2}))}{\sin^{2} (x^{2})} + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

ステップ 6.4.8

$8$ を $\sin (x)$ の左に移動させます。

$- \frac{8 \cdot \sin (x) x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

ステップ 6.4.9

正弦と余弦に関して $\csc (x^{2})$ を書き換えます。

$- \frac{8 \sin (x) x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} + 4 \cos (x) \frac{1}{\sin (x^{2})}$

ステップ 6.4.10

$4 \cos (x) \frac{1}{\sin (x^{2})}$ を掛けます。

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ステップ 6.4.10.1

$\frac{1}{\sin (x^{2})}$ と $4$ をまとめます。

$- \frac{8 \sin (x) x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} + \frac{4}{\sin (x^{2})} \cos (x)$

ステップ 6.4.10.2

$\frac{4}{\sin (x^{2})}$ と $\cos (x)$ をまとめます。

$- \frac{8 \sin (x) x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

ステップ 6.5

各項を簡約します。

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ステップ 6.5.1

$\sin (x^{2})$ を $\sin^{2} (x^{2})$ で因数分解します。

$- \frac{8 \sin (x) x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) \sin (x^{2})} + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

ステップ 6.5.2

分数を分解します。

$- (\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x^{2})}) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

ステップ 6.5.3

$\frac{\sin (x)}{\sin (x^{2})}$ を積として書き換えます。

$- (\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} (\sin (x) \frac{1}{\sin (x^{2})})) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

ステップ 6.5.4

$\sin (x)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$- (\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x^{2})})) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

ステップ 6.5.5

簡約します。

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ステップ 6.5.5.1

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$- (\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} (\sin (x) \frac{1}{\sin (x^{2})})) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

ステップ 6.5.5.2

$\frac{1}{\sin (x^{2})}$ を $\csc (x^{2})$ に変換します。

$- (\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} (\sin (x) \csc (x^{2}))) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

ステップ 6.5.6

分数を分解します。

$- (\frac{8 x}{1} \cdot \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} (\sin (x) \csc (x^{2}))) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

ステップ 6.5.7

$\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ を $\cot (x^{2})$ に変換します。

$- (\frac{8 x}{1} \cot (x^{2}) (\sin (x) \csc (x^{2}))) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

ステップ 6.5.8

$8 x$ を $1$ で割ります。

$- (8 x \cot (x^{2}) (\sin (x) \csc (x^{2}))) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

ステップ 6.5.9

$8$ に $- 1$ をかけます。

$- 8 (x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2})) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

ステップ 6.5.10

分数を分解します。

$- 8 x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2}) + \frac{4}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x^{2})}$

ステップ 6.5.11

$\frac{\cos (x)}{\sin (x^{2})}$ を積として書き換えます。

$- 8 x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2}) + \frac{4}{1} (\cos (x) \frac{1}{\sin (x^{2})})$

ステップ 6.5.12

$\cos (x)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$- 8 x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2}) + \frac{4}{1} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x^{2})})$

ステップ 6.5.13

簡約します。

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ステップ 6.5.13.1

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$- 8 x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2}) + \frac{4}{1} (\cos (x) \frac{1}{\sin (x^{2})})$

ステップ 6.5.13.2

$\frac{1}{\sin (x^{2})}$ を $\csc (x^{2})$ に変換します。

$- 8 x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2}) + \frac{4}{1} (\cos (x) \csc (x^{2}))$

ステップ 6.5.14

$4$ を $1$ で割ります。

$- 8 x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2}) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

微分積分 例

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