微分積分例

$y = \ln (\ln (\cos (x)))$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \ln (\cos (x))$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\ln (\cos (x))$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\ln (\cos (x))$ で置き換えます。

$\frac{1}{\ln (\cos (x))} \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

ステップ 2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\cos (x)$ とします。

$\frac{1}{\ln (\cos (x))} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$\frac{1}{\ln (\cos (x))} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{\ln (\cos (x))} (\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 3

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\frac{1}{\ln (\cos (x))} (\sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 4

$\sec (x)$ と $\frac{1}{\ln (\cos (x))}$ をまとめます。

$\frac{\sec (x)}{\ln (\cos (x))} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 5

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\frac{\sec (x)}{\ln (\cos (x))} (- \sin (x))$

ステップ 6

$\frac{\sec (x)}{\ln (\cos (x))}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$- \frac{\sec (x) \sin (x)}{\ln (\cos (x))}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.1.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$- \frac{\frac{1}{\cos (x)} \sin (x)}{\ln (\cos (x))}$

ステップ 7.1.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$- \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\ln (\cos (x))}$

ステップ 7.1.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$- \frac{\tan (x)}{\ln (\cos (x))}$

ステップ 7.2

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$- \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\ln (\cos (x))}$

ステップ 7.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$- (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\ln (\cos (x))})$

ステップ 7.4

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に $\frac{1}{\ln (\cos (x))}$ をかけます。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) \ln (\cos (x))}$

ステップ 7.5

分数を分解します。

$- (\frac{1}{\ln (\cos (x))} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

ステップ 7.6

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$- (\frac{1}{\ln (\cos (x))} \tan (x))$

ステップ 7.7

$\frac{1}{\ln (\cos (x))}$ と $\tan (x)$ をまとめます。

$- \frac{\tan (x)}{\ln (\cos (x))}$

微分積分 例

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