微分積分例

$y = x \arctan (\frac{1}{x})$

ステップ 1

$f (x) = x$ および $g (x) = \arctan (\frac{1}{x})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{x})] + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{1}{x}$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\arctan (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$x (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{1}{x}$ で置き換えます。

$x (\frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{x}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{x}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} (- x^{- 2}) + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.4

$\frac{x}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}}$ と $x^{- 2}$ をまとめます。

$- \frac{x \cdot x^{- 2}}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4

指数を足して $x$ に $x^{- 2}$ を掛けます。

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ステップ 4.1

$x$ に $x^{- 2}$ をかけます。

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ステップ 4.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{x^{1} x^{- 2}}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{x^{1 - 2}}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.2

$1$ から $2$ を引きます。

$- \frac{x^{- 1}}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 1}$ を分母に移動させます。

$- \frac{1}{(1 + {(\frac{1}{x})}^{2}) x} + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{(1 + {(\frac{1}{x})}^{2}) x} + \arctan (\frac{1}{x}) \cdot 1$

ステップ 7

$\arctan (\frac{1}{x})$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{(1 + {(\frac{1}{x})}^{2}) x} + \arctan (\frac{1}{x})$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

積の法則を $\frac{1}{x}$ に当てはめます。

$- \frac{1}{(1 + \frac{1^{2}}{x^{2}}) x} + \arctan (\frac{1}{x})$

ステップ 8.2

分配則を当てはめます。

$- \frac{1}{1 x + \frac{1^{2}}{x^{2}} x} + \arctan (\frac{1}{x})$

ステップ 8.3

項をまとめます。

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ステップ 8.3.1

$x$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{x + \frac{1^{2}}{x^{2}} x} + \arctan (\frac{1}{x})$

ステップ 8.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{1}{x + \frac{1}{x^{2}} x} + \arctan (\frac{1}{x})$

ステップ 8.3.3

$\frac{1}{x^{2}}$ と $x$ をまとめます。

$- \frac{1}{x + \frac{x}{x^{2}}} + \arctan (\frac{1}{x})$

ステップ 8.3.4

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.4.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{1}{x + \frac{x^{1}}{x^{2}}} + \arctan (\frac{1}{x})$

ステップ 8.3.4.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$- \frac{1}{x + \frac{x \cdot 1}{x^{2}}} + \arctan (\frac{1}{x})$

ステップ 8.3.4.3

共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.4.3.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$- \frac{1}{x + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}} + \arctan (\frac{1}{x})$

ステップ 8.3.4.3.2

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{x + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}} + \arctan (\frac{1}{x})$

ステップ 8.3.4.3.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{x + \frac{1}{x}} + \arctan (\frac{1}{x})$

ステップ 8.3.5

$\arctan (\frac{1}{x})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + \frac{1}{x}}{x + \frac{1}{x}}$ を掛けます。

$- \frac{1}{x + \frac{1}{x}} + \frac{\arctan (\frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})}{x + \frac{1}{x}}$

ステップ 8.3.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 1 + \arctan (\frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})}{x + \frac{1}{x}}$

ステップ 8.4

項を並べ替えます。

$\frac{\arctan (\frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x}) - 1}{x + \frac{1}{x}}$

微分積分 例

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