微分積分例

$y = \cot^{2} (\frac{1}{3 x})$

ステップ 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \cot (\frac{1}{3 x})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\cot (\frac{1}{3 x})$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cot (\frac{1}{3 x})]$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cot (\frac{1}{3 x})]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\cot (\frac{1}{3 x})$ で置き換えます。

$2 \cot (\frac{1}{3 x}) \frac{d}{d x} [\cot (\frac{1}{3 x})]$

ステップ 2

$f (x) = \cot (x)$ および $g (x) = \frac{1}{3 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\frac{1}{3 x}$ とします。

$2 \cot (\frac{1}{3 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x}])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $\cot (u_{2})$ の微分係数は $- \csc^{2} (u_{2})$ です。

$2 \cot (\frac{1}{3 x}) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x}])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\frac{1}{3 x}$ で置き換えます。

$2 \cot (\frac{1}{3 x}) (- \csc^{2} (\frac{1}{3 x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x}])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \cot (\frac{1}{3 x}) (\csc^{2} (\frac{1}{3 x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x}])$

ステップ 3.2

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{3 x}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$- 2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x}) (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

ステップ 3.3

分数をまとめます。

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ステップ 3.3.1

$\frac{1}{3}$ と $- 2$ をまとめます。

$\frac{- 2}{3} \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 3.3.2

$\frac{- 2}{3}$ と $\cot (\frac{1}{3 x})$ をまとめます。

$\frac{- 2 \cot (\frac{1}{3 x})}{3} \csc^{2} (\frac{1}{3 x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 3.3.3

$\frac{- 2 \cot (\frac{1}{3 x})}{3}$ と $\csc^{2} (\frac{1}{3 x})$ をまとめます。

$\frac{- 2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x})}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 3.3.4

式を簡約します。

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ステップ 3.3.4.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x})}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 3.3.4.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$- \frac{2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x})}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 3.4

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x})}{3} (- x^{- 2})$

ステップ 3.5

分数をまとめます。

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ステップ 3.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x})}{3} x^{- 2}$

ステップ 3.5.2

$\frac{2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x})}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x})}{3} x^{- 2}$

ステップ 3.5.3

$\frac{2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x})}{3}$ と $x^{- 2}$ をまとめます。

$\frac{2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x}) x^{- 2}}{3}$

ステップ 3.5.4

式を簡約します。

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ステップ 3.5.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 2}$ を分母に移動させます。

$\frac{2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x})}{3 x^{2}}$

ステップ 3.5.4.2

項を並べ替えます。

$\frac{2 \csc^{2} (\frac{1}{3 x}) \cot (\frac{1}{3 x})}{3 x^{2}}$

微分積分 例

微分積分例